的物体亦是如此；月球对海洋的潮汐运动不可能有任何影响（或成为其原因）。
胡克：作用于一个（具有惯性运动分量的）物体上、遵循平方反比律的同心力，导
致了这样一种轨道运动，即其速度与其到力的中心的距离成反比：这一运动定律与开普
勒的面积定律是一致的。
我们还可以进一步看到，牛顿否定了“离心”力的存在，而这种离心力恰恰是惠更
斯运动物理学发展的基础。牛顿用“向心”力这个概念取代了它们，牛顿之所以选用这
个名称，是因为它与惠更斯的“vis centrifugs（离心力）”有些相似——尽管意义不
同且所指方向相反。
把牛顿的《哲学原理》（他常常用这个名称来指他的著作）与笛卡尔的《哲学原理》
加以比较和对照，就会看出牛顿革命的本质。具有批评眼光的读者会发现，笛卡尔《原
理》的一个异常之处就是，它避开数学，而热中于进行哲学、物理学（或自然哲学）的
哲学的研究。在这本书的四个部分中，只有两个部分专门讨论物理学和宇宙的涡旋体系
的发展。笛卡尔确实在这里提出了碰撞的数量规则，但我们已经知道，在每一个例子中
这些规则都是错的。笛卡尔把这些规则作为一个子集纳入了他的第三自然定律之中。不
过，当沃利斯在《皇家学会哲学学报》发表正确的规则时，它们有了一个更为严格也更
为准确的称谓：“运动定律”。牛顿在其《哲学原理》一开始，就提出了一组定义，随
后是一些“运动的公理或运动定律”，其中前两条与笛卡尔的自然定律的前两条大致相
当。牛顿似乎把笛卡尔的“regulae quaedam sive leges naturae ”（“数量规则或自
然法则”）转变成了他的“axiomata sive leges molus”（“运动公理或运动法则”）。
牛顿的运动三定律和他所归纳的理论力学的公理为：（1）惯性原理：任一物体都将继续
保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于其上；（2）力与其动力效应之间
的关系，即一次推动（或相继产生）的外力会使物体的动量沿外力作用的方向发生变化
（对相继产生的力而言，是指某一单位时间内的变化）；（3）作用力和反作用力相等。
牛顿还把笛卡尔的标题“Principia Philosophiae 〔哲学原理）”改成了“Philo
soPhiae naturalis principia mathematica（自然哲学的数学原理）”，他因此夸耀说，
在使原理数学化的过程中，他创立了一门非同一般哲学的自然哲学。牛顿《原理》的数
学化特点不仅表现在对这些原理的阐述上，而且还表现在对命题的证明和应用上；它还
阐明了一种在自然哲学中使用数学的重要的新的时尚。
牛顿的《原理》在许多方面都堪称杰作。它包含了纯数学最初的一些成果（极限理
论和圆锥截面几何学），它发展了动力学的主要概念（质量、动量、力），它整理和编
纂了动力学的诸项原理（运动三定律），它还说明了开普勒行星运动的三大定律的动力
学意义及伽利略以下实验结论的动力学意义：重量不同的物体（在地球的同一位置）自
由下落时有着相同的加速度和相同的速度。它阐述了曲线运动定律、对摆的运动的分析
以及表面约束运动的本质，它还说明了怎样处理连续变化的力场中粒子的运动问题。牛
顿还指出了分析波的运动的方法，并探讨了物体在各种具有阻力的媒介中运动的方式。
书的最后一部分亦即第三篇，可谓是全书的顶峰，在这里，他揭示了受万有引力、以及
一种广义力的作用（其中一个特别的现象就是众所周知的地球的重量）制约的牛顿的宇
宙体系。牛顿在这部分讨论了行星及其卫星的轨道的长度，彗星的运动和运动轨道，以
及海洋中潮汐现象的产生等。
不妨考虑一下月球运动明显的不规则问题，《原理》对这个问题的探讨是该书的思
想具有新水平的一个实例。在过去的一千五百年间，天文学家们在处理月球运动问题时，
总是在构造几何图式，而不考虑原因。而现在，牛顿指出，摄动现象是“月行差”的主
要根源，而这种摄动则是太阳引力和地球引力对月球的作用的主要结果。随着1687年
《原理》的出版，人们就有可能从第一原理或第一原因开始，通过对结果的研究来处理
这一问题。正如《原理》第二版的评论者们注意到的那样，这是一种全新的处理这类问
题的方法。
也许，在所有这些成就中，最伟大的就是对潮汐的解释，即潮汐是太阳和月亮的引
力对海洋的吸引作用导致的。“海洋中的潮涨潮落”，牛顿断言（bk．3，prop．24），
“源于太阳和月亮的作用。”他分析了岁差和月球对地球假定的赤道鼓起区不平衡的吸
引作用，以此为基础，他预言，地球的形状呈扇圆形；从这里我们可以看出牛顿所取得
的成就的重要意义。
从《原理》所表现出的致力于惯性物理学的研究这一点，一些分析家们可能会看出
此书的伟大所在；对于牛顿来讲，惯性是质量的一种特性。牛顿是第一位明确区分质量
与重量的作者，而且他进一步认识到，物体的质量具有两种各自独立彼此不同的方面。
质量是物体阻止被加速或阻止使其运动状态或静止状态发生变化的一种量度；这就是它
的惯性。（牛顿有时使用“惯性力”或“vis inertiae”这样的术语—一这种类型的力
有别于那种“活动的’功或能产生加速作用的力。）不过，物体的质量同时也可以作为
对给定的引力场的一种反应的量度。那么，在物体对加速作用的（惯性的）阻力与其对
某一引力场的（引力的）反应之间为什么又会有着某种联系呢？这在经典物理学中是找
不到答案的。牛顿独具慧眼，他认识到，对这种关系的了解必须以实验为依据，所以，
他着手进行实验以证明惯性与重力之间的这种恒定的关系。然而，只有在爱因斯坦的相
对论中才能看到“惯性”质量与“引力”质量等价的逻辑必然性。爱因斯坦极为佩服牛
顿，因为牛顿对这个问题有了如此深刻的见识，而且认识到了，他解释这种等价关系的
理由只能以实验为依据。
牛顿《原理》中的数学的本质常常被人误解。如果只是泛泛地一页一项翻着，那就
会给人一种印象，即牛顿所使用的数学是几何学尤其是古希腊的几何学。其风格似乎是
欧几里德式或阿波罗尼奥斯式的。然而，更仔细地考虑一下就会发现，牛顿是在用微积
分阐述问题，他运用几何学方法根据不同的比率和比例来陈述各种关系，并且同时，把
“极限”看作是一种等于零的（或是初始的）基本量。因此，尽管牛顿没有详述他以后
系统地运用的微积分（或“流数”）的规则系统，但他的确大量地运用了极限方法，这
显然等价于使用了微积分，或者说，所使用的极限方法可以很容易地转换成牛顿算法或
莱布尼兹算法的符号体系。马奎斯·德·洛皮塔尔认识到了《原理》的这一方面，他注
意到（正如牛顿得意地提到的那样），这部书中的数学几乎全是微积分。对于任何一位
细心的读者来讲，在该书第一编第一节对极限理论的阐述中，在第二编第二节明确的流
数（牛顿用来表示微分的术语）理论中，这一点表现得更为明显。此外，《原理》之著
名还因为，它最早使用了一些其他的数学方法，例如，无穷级数的广泛应用。
牛顿的风格
在我看来，从我所谓的“牛顿的风格”中，可以发现牛顿科学革命的本质。从牛顿
在《原理》中对开普勒诸定律的讨论，就可以很容易地看到这一点。牛顿的讨论，始于
一种纯数学的结构或想象的系统——它并不只是一个简化了的自然事件，而是一种在实
在的世界中根本不存在的纯属虚构的系统。在这里，“实在的”这个词所指的，只是由
实验和观察揭示出来的外在世界。在这种系统中，单一的质点围绕着一个力心运动。牛
顿用数学方法指出（bk．1，prop．1），只要在这一结构或系统中能有一种来自沿轨道
运行的质点或粒子的力恒久地指向不动的力心，那么开普勒的面积定律（即他的第二定
律）就可成立。他接下来证明其逆命题，即如果面积定律成立，那么就会有一种向心力
或指向中心的力存在。因此，向心力的存在被证明，既是开普勒面积定律成立的必要条
件又是其充分条件。随后牛顿指出，如果运动轨道呈椭圆形，那么，向心力必然与距中
心的距离的平方成反比。最后他证明，如果在此种力的条件下存在着几个沿轨道运行的
质点，它们彼此没有相互作用——或者（结果相同）如果把任一给定质点的运动与其在
距中心的某一不同距离上的运动相比较——那么，开普勒第三定律或和谐定律就可成立。
顺便提一句，我们也许注意到，牛顿在这里首次指明了开普勒第三条定律中每一条的动
力学意义。牛顿的活动在很大程度上构成了纯数学的第一个阶段。
在第二个阶段，牛顿把他的精神构造物与实在的世界进行了比较。当然他立刻发现，
在实在的世界中（例如，在我们的太阳系中），沿轨道运行的物体，并不是围绕着“数
学的”力心运动，而是围绕着别的实在物体运动。月球围绕着地球运动而地球和其他行
星围绕着太阳运动。此外，为了使其精神构造物或想象系统能与实在的世界更为谐调一
致，牛顿改进了这一系统，使其质点数增加到两个。其中一个质点位于中心，并且吸引
着另一个在轨道上运动的质点，它不断地把后者从其所在的另一条直线惯性运动的轨道
上拉开。但是，按照任一作用都有一个大小相等方向相反的反作用这一原理（牛顿第三
运动定律），就会得出这样的推论：如果位于中心的物体吸引着沿轨道运行的物体，那
么，在轨道上运行的物体也必定吸引着位于中心的物体。这样，这种精神构造物扩展到
有两个相互作用的物体的系统了。牛顿继续指出，在这类条件下，情况不再是在轨道上
运行的物体沿着一个纯椭圆形的轨道围绕位于焦点的中心物体运动了。相反，他发现，
这二者都是沿椭圆形轨道围绕着它们共同的引力中心运动。
这种双物体系统构成了一个得到了改进的阶段，在此阶段，牛顿又一次用数学方法
阐述了他的（现已修正了的）精神构造物。他随后把这个改进了的系统与外在的世界进
行了比较，这就是改进了的第二阶段。当然，他发现，这个系统还是与我们周围的实在
世界不相符的。例如，在我们的太阳系中，围绕太阳运动的行星并非只有一个，而是有
好几个。这样，为了使他的精神构造物更进一步符合外在的世界系统，牛顿又继续开始
了另一个阶段的工作。他在系统中引入了不止一个而是两个或更多的质点，它们在围绕
中心质点的轨道上运行。这样，运用牛顿的第三定律，又一次得出以下推论：沿轨道运
行的每一个质点，既受到中心物体的吸引，也对它有着吸引作用。换句话说结论就是，
沿轨道运行的每一个质点，既是一个可被吸引的物体，也是一个具有吸引力的中心。在
这些沿轨道运行的物体中，任何一个物体都会对其他的每一个发生作用，同时也会受到
它们各自作用的影响。这个系统包含了这样一些物体：它们彼此以摄动的方式相互作用，
这些摄动导致了与开普勒定律的一种细微的偏离。于是，牛顿继续努力，以图在我们的
太阳系中找出与开普勒定律相差的数量测度。
在数学结构和对实在世界的比拟之间、以及第一阶段和第二阶段之间的这种对位式
的变换中，牛顿不仅从单一物体系统发展到了多物体系统，而且发展到了沿轨道运行且
带有卫星的多物体系统，例如，地球的卫星是月球，土星和木星也都有各自的卫星。到
此为止他一直讨论的都是质点，而不是有形的物体，因为他还没有开始考虑大小和形状，
不过最终，他把讨论的层次从质点转到了具有一定尺寸和外形的物理实体之上。
我所描述的过程，并非只是20世纪人们（对牛顿在《原理》中提出问题的方式）的
一种事后分析。它与有文献为证的牛顿思想的各个发展阶段是相符的。1684年秋，牛顿
写了一本小册子（《论运动》），在其中，他介绍了他研究开普勒定律以及有关这个问
题其他方面的一些成果。他在书中指出，向心力是面积定律成立的必要充分条件，�