法本源图说是“注释不明”“不云如何作用”。顾应祥（著有《勾股算术》、《弧矢算术》、《测圆算术》、《测圆海镜分类释术》）看到《测圆海镜》里的天元术说是“反复合之无下手之处”感到“茫然无门路可入”只好在《测圆海镜分类释术》中舍弃了原著有关天元术的内容。这种情况反映了当时中国传统数学后继乏人和数学研究几乎停滞不前的严重程度。现在所说的明代数学的衰落也主要是指这一方面而言的。
1李俨：《明代算学书志》见李俨《中算史论丛》（第二集）科学出版社1954年版。2严敦杰：《跋重新现之〈永乐大典〉算书》载《自然科学研究》1987年第2期。第二节商业数学的展明代的商品经济相当达因此明代在数学理论上虽然没有什么建树但随着商品经济的展商业数学得到了较大的展其突出表现是在当时一些重要数学著作中出现了更多的与商业贸易有关的应用问题。吴敬《九章详注比类算法大全》（现通称《九章算法比类大全》）可说是这方面的代表作。
吴敬字信民浙江仁和（今杭州市）人曾任浙江布政使司的幕府。
他对浙江的经济情况如田赋、税收、人口等非常熟悉常协助当地财政官员进行工作。吴敬于景泰元年（145o）写成《九章算法比类大全》这部数学杰作。全书分十卷共一千三百二十九个应用题。第一卷前另有“卷”称为“乘除开方起例”主要介绍大数记法、小数记法、度量衡的单位、乘除算法中用字的解释、整数四则运算和分数四则运算等并给出一百九十四个应用问题的解法。第一卷至第九卷按《九章算术》分类法分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈朒和勾股。各卷内容都是对该类应用问题的解法其中最初几个问题主要引自杨辉《详解九章算法》、刘徽《海岛算经》、王孝通《缉古算经》等称为“古问”。而结合当时社会情况的应用问题则称为“比类”。此外还有用诗词形式表达的应用问题。第十卷专论“各色开方”包括开平方开立方开高次方开带从平方和开带从立方等。吴敬在该书“比类”中收集的许多题目是与当时人们生产和生活实践特别是与商业贸易有关的应用问题。这是商品经济展在数学中的反映。十五世纪中欧洲南部各城市的商品经济也很达商业数学也有相应的展。在吴敬《九章算法比类大全》写成后二十八年意大利出现了一部相类似的著作《脱雷维沙算术》（treviso为威尼斯附近的一个地名）。其中有不少相当于吴敬书中的问题和解法如“异乘同除”、“就地抽分”、“合伙经营”、“互换乘除”等。这说明在资本主义展的萌芽时期商品经济反映到数学上东西方有类似的步伐1。吴敬这部著作的体例和内容对程大位《算法统宗》等后世数学著作有较大的影响。
另外值得一提的是王文素的《算学宝鉴》。王文素字尚彬山西汾城人。他以三十余年之功于嘉靖三年（1524）写成《算学宝鉴》一书书名全称《新集通证古今算学宝鉴》。全书共四十一卷。这是继吴敬《九章算法比类大全》之后又一部商业数学巨著。书中介绍了珠算也运用了筹算包含有结合社会需要的各种应用问题内容相当丰富。但可惜的是迄今不知这部著作是否有刊本行世。现较易见到的是北京图书馆藏抄本的影印本2。1钱宝琮：《中国数学史》科学出版社1964年版第134—136页。
2见郭书春主编：《中国科学技术典籍通汇·数学卷（二）》河南教育出版1993年版。第三节珠算术的展据现有资料推测珠算大约明于元中叶之前不太久的时间而在元代关于珠算仅有一些零星的记载。珠算明之后随着商品经济的达和算法的简化在明代逐渐得到广泛应用并且最终完全取代了筹算。明初刊刻的《对相四言杂字》是一部看图识字的启蒙著作。书中绘有算盘图也绘有算筹图说明珠算术展很快珠算盘在明初即已推广成为应该与算筹同时掌握的计算工具。明中期以前的一些数学专著如吴敬《九章算法比类大全》和王文素《算学宝鉴》等也都明确提到珠算盘并记载了一些只在珠算中才能有的口诀。如“破五诀”说：“无一去五下还四”“无二去五下还三”一或两根算筹就行了用不着“下还四”“下还三”因此“破五诀”应是珠算口诀。但这两部书又主要是介绍筹算方法的著作。这种情况表明直到明代中期在实际生活中还是筹算和珠算同时并用的。
明代算盘的式样与规格在十五世纪中期的《鲁班木经》里有明确的记载：“算盘式：一尺二寸长四寸二分大。框六分厚九分大起碗底。线上二子一寸一分；线下五子三寸一分。长短大小看子而做。”这种算盘的上下算珠之间还没有横梁只用一条绳线隔开。徐心鲁《盘珠算法》（1573）中的九档算盘图上有一珠下有五珠中间有木梁与日本的算盘相同。日本算盘是来源于这种算盘还是独立创制的还有待于深入的研究。柯尚迁《数学通轨》（1578）中所绘算盘图称为“初定算盘图式”有十三档上二珠下五珠中间用木制的横梁隔开已与现在通用的算盘相同。中国算盘的形制可能在这时已经基本定型了。
珠算的四则运算方法基本来自筹算但也有所不同。如筹算中没有加法和减法的口诀而加减法口诀则是珠算术的重要组成部分。在明代的珠算著作中加法口诀称为“上法诀”如“一上一；一下五除四；一退九进一十”等等减法口诀称为“退法诀”如“一退一；一退十还九；一上四退五”等等。为提高运算度这些口诀对于珠算术是必要的而筹算术则无此必要。珠算术的乘法口诀（九九口诀）和除法口诀（九归口诀）等与元代的筹算术完全相同。此外明代珠算术中有一归口诀如“见一无除作九一起一下还一”等这种除法口诀是筹算术所没有的。
明朝人撰写的珠算书为数不少但流传下来的不多。现在有传本的有徐心鲁《盘珠算法》（1573）、柯尚迁《数学通轨》（1578）、朱载堉《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》（1592）和黄龙吟《算法指南》（16o4）等。其中以程大位的《算法统宗》流传最广影响也最大。
程大位（1533—16o6）字汝思号宾渠安徽休宁（今黄山市）人。
少年时代就很喜欢数学二十岁以后一面在长江中下游地区经商一面研究数学问题同时向知算者请教问难并广泛收集古代与当代的数学著作。四十岁左右回到家乡专心致力于数学研究。1592年在他六十岁的时候写成《算法统宗》17卷。后来他又将该书删繁就简编成《算法纂要》4卷（1598）。《算法统宗》全称是《新编直指算法统宗》。书中详细介绍了珠算盘的定位方法、加减乘除口诀和其他简算口诀。这些口诀已相当完善至今还在继续使用。全书595个应用题全部用珠算盘演算并且还设计了用珠算开平方和开立方的方法（朱载堉在此前后也提出了珠算开方法）。万历时张居正推行一条鞭法在全国范围内清丈土地。《算法统宗》卷三“方田”中记有程大位专门为此创制的“丈量步车”并绘有图。这种“丈量步车”是用竹篾制成的可以卷绳类似于现在测量用的卷尺用以丈量土地。《算法统宗》出版之后很快“风行宇内”凡学习计算的人士“莫不家藏一编”1一直到清末还在出版这部著作的各种翻刻本和改编本。明末李之藻编译《同文算指》还从《算法统宗》中摘录了不少应用问题以补充西洋算法的不足。
《算法统宗》的编著和流传是从筹算到珠算这一转变完成的标志。从此这种携带方便、使用方法简便的珠算盘成为主要的计算工具一直到现在还在我国人民中间广泛地应用着充分显示了适应社会需要的创造明的强大生命力。不仅如此珠算盘和有关著作还流传到朝鲜、日本等亚洲国家并且受到了这些国家的欢迎。古希腊、罗马和俄国也曾有过算盘它们的形制与中国算盘不同并且由于使用不便而都被淘汰了其作用和影响是根本不能与中国算盘相比的。
1程大位：《直指算法统宗》程世绥序。
第四节西方数学的引进十六世纪末天主教耶稣会传教士作为西方殖民国家的先遣队开始到中国来进行活动。最早到中国内地的是意大利传教士利玛窦（1552—161o）他是德国数学家克拉维斯（1avius1537—1612）的学生。明朝末年由于改革历法的需要又6续聘请一些通晓天文数学的西方传教士来历局工作其中有罗雅各（janetbsp；rho159o—1638意大利人）、邓玉函（jeanterrenz1576—163o瑞士人）、汤若望（jeanadamsnetbe111591—1666德国人）等。这些人的主要活动当然是进行宗教宣传但是为了“巩固地位”、“增进自由”和使教会获得“极大的利益”他们也介绍了西方的一些天文、数学、地理、制造枪炮等科学技术知识。在数学方面这时传入的有欧氏几何、平面和球面三角学、圆锥曲线、笔算方法和一些计算工具等。西方的这些数学知识为濒于衰废的明代数学增添了新的内容引起当时中国数学家学习和研究的兴趣并且做出相当大的成绩朝着中、西数学融合的方向迈出了重要的一步。
欧氏几何这一时期最早译成中文的西方数学著作是利玛窦与徐光启合译的欧几里得《几何原本》前六卷内容为平面几何学。所用翻译底本为克拉维斯注释的《原本》十五卷拉丁文本但仅译出原著未译克拉维斯的注释和其他研究者的成果。在稍后编撰的《崇祯历书》等著作中又介绍了《原本》后九卷及《原本》以外的属于欧氏几何体系的部分内容如正多边形多面体等。欧氏几何传入后其丰富新颖的内容及其严谨的逻辑体系和演绎方法在中国数学界产生了比较大的影响。徐光启曾明确指出《几何原本》为“度数之宗”“此书未译则他书俱不可得论”“此书为益能令学理者祛其浮气练其精心；学事者资其定法其巧思；故举世无一人不当学”1。对《几何原本》的意义和重要性给予了极高的评价。徐光启、孙元化等中国数学家还撰写了一些介绍与讨论《几何原本》的专著并试图用欧氏几何的思想来研究中国古代的传统数学。清代康熙皇帝还曾请传教士南怀仁、张诚、白晋等到宫中讲授几何并将法国数学家巴蒂（1ies）的欧氏几何著作译成满文本《几何原本》。徐光启和利玛窦所译《几何原本》中确定的一些数学名词如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形等等都一直沿用至今。在翻译《几何原本》时徐光启原来是想译完全书的但由于利玛窦反对说是“请先传此”“徐计其余”译事因而中辍。1856年李善兰、伟烈亚力译出《几何原本》后九卷这已是前六卷译出之后二百五十年的事情了。
三角函数历史悠久的平面三角学和球面三角学这时也传入中国。《崇祯历书》1徐光启：《几何原本杂议》。
中邓玉函编译的《大测》（1631）利用单位圆上有关的八条线段定义八种三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢故称“八线”最后两种三角函数现在已舍弃不用了。三角函数表造法有“六宗”（圆内接正六边形、正四边形、正三角形、正十边形、正五边形、正十五边形的边长求法即求sin3o°、sin45°、sin6o°、sin18°、sin36°、sin12°的函数值）“三要”（指sin2a＋cos2a=1倍角公式和半角公式）“二简”［指公式：sina=sin（6o°＋a）…sin（6o°…a）sin（a±b）=sinanetb］等方法。此外还有正弦定理和正切定理。邓玉函编译的《割圆八线表》是五位三角函数表间隔为分分与分之间按比例插入法计算。罗雅各所撰《测量全义》（1631）除介绍平面三角学中的正弦定理和正切定理外还有同角三角函数的关系、余弦定理、积化和差公式等并且还介绍了属于球面三角学的一些基本公式。《测量全义》附有一份四位三角函数表间隔为15′。清初由波兰传教士穆尼阁（。smogo1enski1611—1656）讲授后由薛凤祚整理成书的《历学会通》中有一卷《三角算法》其中介绍的平面三角学和球面三角学知识比《崇祯历书》中有关三角学的内容更为丰富并且还给出了一个六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。三角学是明末清初传入中国的较系统且最有实用价值的西方古典数学成就之一。
笔算李之藻和利玛窦合编的《同文算指》是介绍西方笔算的著作主要是根据克拉维斯的《实用算术概论》编译的并吸取了程大位《算法统宗》里的一些内容。书�