《中国通史》

下载本书

添加书签

中国通史- 第434部分


按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页,按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页,按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部!
┏の猙下广(底层宽)为net层则沈括的结果相当于得到长方台形垛积物体总数:s=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+。+'a+(n…1)''b+(n…1)'=n6'(2b+d)a+(2d+b)net6(c…a)。关于这个结果沈括仅说:“予思而得之”1但他没有详细说明是用什么方法求得这一正确的长方台垛公式的。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中丰富和展了沈括的成果提出了诸如snnnnsnnnnn=++++=++=++++++=++12361211361o1216122222ll;之类的菓子垛和三角垛求和公式。沈括、杨辉等讨论的级数与一般等差级数不同它们前后两项之差并不相等但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究沈括称为“隙积术”杨辉之后则一般称为“垛积术”后来成为一项重要的研究课题吸引不少数学家从事这方面的工作。如元代数学家朱世杰就得到了一系列更复杂的高阶等差级数求和公式并把垛积术与招差术(高次内插法)联系起来对后世产生了很大影响。清代数学家顾观光指出:“堆垛之术详于杨氏、朱氏二书而创始之功断推沈氏。”1《梦溪笔谈》卷18。

    2第五节会圆术沈括在数学上的又一重要贡献是创立“会圆术”3给出了中国数学史上最早的由弦和矢的长度来求弧长的近似公式。如图3设圆的直径为dbe弦长为netbsp;矢长为vbde弧长为s则沈括的结果相当于得到了公式s≈netbsp;vd。这是一个近似公式但在一定范围内使用还是比较简便的。他同时还得出一个由矢长和半径求弦长的公式。虽然沈括并没有说明他的证明方法但这两个公式很容易从《九章算术》弧田术及勾股定理推导出来。会圆术的重要意义还在于它在中国数学史上最早提出了关于弧、弦、矢之间的关系问题此后一些数学家继续对这一新课题进行研究并取得了不少新成果。如元代郭守敬、王恂等人在《授时历》中反复应用沈括的会圆术并根据相似三角形各线段间的比例关系在推算“赤道积度”(太阳赤经余弧)和“赤道内外度”(太阳赤纬)方面创立了一种新的方法。就数学意义而言这种新算法相当于球面三角学中求解球面直角三角形的方法。

    第六节纵横图纵横图亦称幻方是把从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数并且使同行、同列及同一对角线上n个数的和都相等的一种方阵。纵横图是中国古代数学中由来已久的比较特殊的内容之一。《数术记遗》载有“九宫算”甄鸾注称:“九宫者即二四为肩六八为足左三右七戴九履一五居中央。”这实际上是一个三行纵横图各行、各列及两条对角线上的数字之和都等于15。“九宫图”后世通称“洛书”其起源当早于汉代同时它也是世界上现在已知最早的纵横图。南宋杨辉在《续古摘奇算法》中列出了n=345。1o行的各种纵横图如十行纵横图称为“百子图”等并对一些纵横图的构造方法进行了研究。如洛书数的构造方法是“九子斜排上下对易左右相更四维挺出”等。此外他还记录了聚五图、聚六图、聚八图、攒九图、八阵图、连环图等圆形或环形的新型数字组合图这些都可说是纵横图的进一步演变和展1。丁易东《大衍索隐》也收有与杨辉攒九图和连环图相似的图。明清时期一些数学家如程大位、王文素、方中通、张潮、保其寿等对纵横图进行深入研究取得了更加丰富多彩的结果。过去2顾观光:《九数存古》卷5。

    3《梦溪笔谈》卷18。

    1参见李俨:《中算家的纵横图研究》见李俨《中算史论丛》第一集科学出版社1955年版。纵横图大多是作为开动脑筋启智力的一种数学游戏而现在则已成为组合数学的重要内容在程序设计、图论、组合分析等方面得到了广泛的应用。第七节筹算算法的展中国古代数学在筹算的基础上取得了极其辉煌的成就。但是作为主要计算工具的算筹也还存在不少缺点特别是使用不便演算度和效率不可能很高。例如筹算乘除法要把算筹摆成上中下三层演算时要不断拿上拿下一根根移动相当麻烦。所以当时天文学家和数学家乃至财会人员作比较复杂的计算有时要把算筹摆满一桌子即所谓“置筹盈案”。可想而知用四五寸长二三分宽的小竹棍摆一个十几位的数字所占的地方就已很可观了。随着农业、手工业和商业的展日益需要进行大量繁杂的计算并且要求算得快和算得准因此原有计算方法甚至计算工具都越来越不能适应实际需要改进算筹和筹算的迫切要求迅提到日程上来。对筹算方法的研究和改进先是从简化乘除运算开始的。早在8世纪的中唐时期以《夏侯阳算经》名义流传至今的《韩延算书》就记载了把多位数乘除通过身外添减等转变成乘以或除以单位数的方法。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中提到了求一、上驱、搭因、重因、增成之类筹算的简捷算法并且指出:算术“见简即用见繁即变不胶一法”1概括地说明了当时这样一种趋势。南宋数学家杨辉对筹算算法的展有突出的贡献。杨辉字谦光钱塘(今浙江杭州)人生平不详曾在浙江做过地方官员撰有《详解九章算法》附《九章算法纂类》共12卷(1261)《日用算法》2卷(1262)《乘除通变本末》3卷(1274)《田亩比类乘除捷法》2卷(1275)《续古摘奇算法》2卷(1275)后三种一般合称《杨辉算法》。在杨辉的著作中系统地叙述了以加代乘和以减代除的各种方法其中“加法代乘”有五法“减法代除”有四法如加一位、加二位、重加、隔位加、连身加、减一位、减二位、重减、隔位减等。他还介绍了唐宋相传的求一代乘除法并编成易于上口的歌诀。如求一乘法歌诀是“五六七倍之数不走。二三当折半遇四两折纽。倍折本从法实即反其有”1用这种方法把乘数的位变成1然后再用加一位、加二位等方法来计算。对于除法也有求一歌用来简化运算。但通过求一除法歌诀以减法代除进行除法运算实际上并不简捷所以后来被归除歌诀所代替。杨辉《乘除通变算宝》中还载有九归歌诀、化零歌以及除数是两位数的飞归歌诀等。如九归古诀是:“归数求成十归除自上加。半而为五计定位退无差。”杨辉在这四句古诀的基础上又添注了三十二句新口诀使之更加明确。像杨辉算书里记载的歌诀形式在13、14世纪宋、元、明三代是很流行的。当时不仅用这种诗歌形式提出问题而且1《梦溪笔谈》卷18。

    1见杨辉《乘除通变本末》中的《乘除通变算宝》。

    用来说明算法。这种便于记忆和掌握的形式后来更加简明和完善。它反映了筹算算法的展也促进了珠算的产生而它本身也逐渐演变成后人熟知的珠算口诀。

    在唐宋时期还有一部《谢察微算经》。《新唐书·艺文志》载《谢察微算经》3卷《宋史·艺文志》作谢察微《蒙算经》3卷对这部算经的年代现在还难以确定。有些学者认为这是五代时的作品并据此书残存部分“用字例义”中提到与算盘有关的用语如中、算盘之“中”、脊、进、退、上、下等推断五代时已经有了珠算2。但是这部分内容是否为《谢察微算经》原有的内容尚有疑义并且现在还没有掌握元代之前已有珠算的任何一条可靠记载所以对这类问题尚有待进一步的考证与研究。

    除上述各项数学成就外在诸如四舍五入法小数记法联立方程组解法已知三角形三边求面积的公式棋局总数计算运筹思想与实践等方面两宋时期的数学家们也都作出了相当出色的贡献。

    第八节数学教育两宋时期官府对数学教育事业曾给予了一定的重视但几起几落争议不休。北宋初期算学曾与文、武两学并列设有算学博士但一直未开办正式的学馆。宋神宗元丰七年(1o84)诏令通算学者可于吏部就试合格者授予地位很低的官职并令秘书省刊刻算经十书以备学习之用。宋哲宗元祐元年(1o86)曾派人选址准备建造算书馆但是由于找不到合适的教员并且有人反对说将来“建学之后养士设科徒有烦费实于国事无补”于是作罢。直到宋徽宗崇宁三年(11o4)国子监始立算学设博士4人和其他职员8人计划招收26o名学生。学习教材是《九章》、《周髀》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯阳》等。考试分上、内、外三舍(三级)上舍合格者可授予通仕郎、登仕郎、将仕郎等初级官阶。崇宁五年(11o6)初算学被撤销而在同年底却又得到恢复。大观三年(11o7)还搞了一次封祀历代数学家和天文学家的礼仪活动如封张衡为西鄂伯祖冲之为范阳子刘徽为淄乡男等并打算绘像从祀但也由于有人反对而未正式进行。大观四年(11o8)又撤销算学算学生并入太史局。政和三年(1113)复置算学仍用算学馆旧址并令地方上仿照执行其教育制度与元丰、崇宁时相同。宣和二年(112o)再次撤销了算学馆及有关的官职。由上所述可以看出北宋时算学馆的兴废交替比较频繁这种情况当然对数学展是不利的。到了南宋时期官办数学教育事业就更趋衰微了。但另一方面官办数学教育毕竟培养了一批通晓数学的人才并对民间数学传习产生了一定的鼓励和示范作用这还是应该肯定的。

    在数学教材方面北宋元丰七年(1o84)刻印算书时唐代十部算经中的《缀术》已经失传因而只刻印了九部并且据考证其中《夏侯阳算经》并非原著而是唐代中期的《韩延算术》这部书由于卷上第一章引用了夏侯阳的一句话而被误认为《夏侯阳算经》。元丰年间所刻《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、2李迪、冯立升:《〈谢察微算经〉试探》见李迪主编《数学史研究文集》第三辑内蒙古大学出版社1992年版。

    《张丘建算经》、《五经算术》和《缉古算经》这九部算经是最早的官刻本数学书籍可惜在清初就已全部亡佚。南宋绍兴九年(1139)刻书兴学但未刻印算书。一直到南宋嘉定六年(1213)鲍澣之在福建汀州学校主持翻刻北宋本九部算经时又补入《数术记遗》1卷。到了清初南宋所刻算书也仅存《周髀》、《孙子》、《张丘建》、《五曹》、《缉古》、《夏侯阳》和《九章》7种孤本其中《九章算术》仅存5卷。这些书幸得传留至今。宋刻本十部算书基本上是以李淳风等注释本为基础的并且其绝大部分内容通过各种途径流传下来为我们保存了宝贵的数学史料这就是我们现在可以见到的《算经十书》。

    从隋唐到宋元官府兴办的数学教育事业日趋衰落而民间数学教育却有所展。在敦煌千佛洞现的算书和算表记载了算筹记数、乘法口诀、四则运算、面积、体积等实用算术方法。这些著作大多是唐末宋初的作品从中可以反映当时民间数学教育的一些内容并表明当时所用教材并非都是官府统一刊布的算经。到了宋元时期民间数学教育更为流行如李冶曾在河北元氏与获鹿两县交界处的封龙山隐居讲学并进行数学研究。在元代数学家和天文学家郭守敬少年求学时的河北磁县紫金山形成了一个以刘秉忠、张守谦、张易等为中心的成就卓著的学派数学也是这个学派教学与研讨的领域之一。元代数学家朱世杰更是“以数学名家周游湖海二十余年”“四方之来学者日众”。他的《算学启蒙》是一部很好的数学入门书其中还包括“天元术”等当时数学的最新成果。特别是南宋之后刻印的数学著作中出现了歌谣形式的数学问题和算法口诀更能说明数学的传授已经走出官学的大门逐渐深入到了民间。此外还应提到的是杨辉在《乘除通变本末》中给出了一个“习算纲目”这是学习一般民用和商用数学的一份切合实际的教学大纲其中提倡循序渐进与熟读精思注重培养和提高计算能力等。这个“习算纲目”是我国数学教育史上的一篇重要文献。

    第八十九章天文学第一节珍贵的天象记录宋代很重视天象观测为了避免天文观测人员谎报、漏报、错报天象同时也为了提高司天监人员的责任心除司天监外还在皇宫内再设天文院也进行天象观测并于次日清晨用以核对司天监的报告。于是司天监与天文院两边的天文观测人员都不敢懈怠故天象记录多而详细有些记录具有重要的科学价值。

    1oo6年在豺狼座爆了一颗新星据研究这颗星最亮的时候达到—9。5等即当时的亮度约相当于满月亮度的十分之一。这次爆所留下的遗迹是一个射电源仍为现代天文学家所关注。关于这颗新星的爆宋代留下了较详细的记录。如《宋史·天文志》载:“景德三年(1oo6)四月戊寅周伯星见出氐南骑官西
小提示:按 回车 [Enter] 键 返回书目,按 ← 键 返回上一页, 按 → 键 进入下一页。 赞一下 添加书签加入书架