问题。其中包括勾股容方和勾股容圆问题以及二次方程x2＋ax＝b（a＞ob＞o）的解法。关于勾股数的原术及刘徽注中的有关公式是对整数论的重要贡献也是世界数学史上整数勾股数研究的较早成果之一。《九章算术》及其中一些问题曾经传到日本、朝鲜、越南、印度、阿拉伯和欧洲对世界古代数学展产生了相当大的影响。《九章算术》已被译成英、俄、德、日等多种文字。
《九章算术》对中国古代数学的总结及其对后来的影响《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就是中国古代数学体系形成的显著标志。它的丰富多采的内容大多来自生产和生活实践集中反映了我国古代高度展的数学水平以及理论密切联系实际和以算法为核心的突出特点并对后世数学展起了十分重要的作用。《九章算术》对中国数学的影响正像欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样是非常深刻的。中国历史上著名数学家如刘徽、祖冲之、李淳风、贾宪等都曾经深入研究和注释过《九章算术》并通过这种形式提出许多新概念和新方法为推动中国数学展作出了重大贡献。《九章算术》是中国古代数学流传最久影响最大的一部代表作也是历代进行数学教育的课本之一。唐代国子监算学馆规定十部数学著作作为学生的数学教科书后代称为“算经十书”《九章》就是其中的一部。
第五节数学与天文学在中国古代天、算、农、医是成就卓著的四大学科其中天文学和数学的关系尤为密切。天文历法的进步促进了数学的展而数学的展也为天文历法提供了有力的工具。前面提到的《周髀算经》是一部天文学著作其中也包含了勾股定理、勾股测量、开平方和分数运算等数学方面的成就。东汉晚期的天文学家刘洪在《乾象历》中用“强”、“弱”来表示某数的过剩近似值和不足近似值。他的“强弱”概念与“正负”概念是相通的并且明确指出：“强正弱负强弱相并同名相除异名相消；其相减也同名相消异名相从；无对互之。”这与《九章算术》中的正负数加减运算法则完全一致。刘洪为解决由于月球绕地球运行不等运动问题提出了一次内插法。根据这种方法通过某日某时前后的两个实际观测值可以比较精确地推算月球在该日该时的实际位置。一次内插法实质上就是盈不足术它使历法精度有所提高并为研究二次和高次内插法、不等间距内插法提供了新方向后世在这一领域获得了很大的进展。在西方古希腊天文学家采用几何方法解决这一问题相当繁琐远不如中国的代数方法简捷明确。此外由于汉代历法中出现了推算上元积年的需要因此也产生了求解一次同余式或简单不定方程的问题后世在这一领域也取得了极其突出的成就。
第六节数学家秦汉时期曾涌现出一批数学家和有很高数学造诣的人。如许商、杜忠在当时都有数学专著行世。据文献记载汉北平侯张苍（？—前125）、大司农耿寿昌皆以善算名世他们都做过修订数学著作的工作1。刘歆（？—23）“数术、方技无所不究”2著有《三统历谱》等。著名天文学家张衡（78—139）“善机巧尤致力阴阳、天文、历算”3著有《灵宪》、《算■论》。他所用的圆周率相当于π＝1o≈3。16优于古圆周率π＝3是对这一课题较早的研究和改进。刘洪“善算当世无偶”4曾创制《乾象历》有的文献还记载他著有《九章算术》5。马续“善《九章算术》”6。郑玄（127—2oo）“少学书数八九岁能下算乘除。年二十一博极群书兼精算术”7曾注释多种重要典籍。蔡邕（133—192）好辞章、数术、天文“先治律历以筹算为本天文为验”8。他已知道圆周率π＞258＝3。125比古率有所改进。徐岳“素习《九章》能为计数”9。据载著有《九章算术》、《算经要用百法》、《大衍算术注》、《数术记遗》等实际上很可能是他对《九章算术》作过注释。另外《数术记遗》一书现有传本但也有人认为是伪托之作。以上这些人都是中国数学史上较早见于史籍记载的数学家和擅长数学的学者遗憾的是由于史料缺乏现尚难以对他们的数学成就做出详细的论述。
1刘徽《九章算术注》原序钱宝琮校点本《算经十书》上册中华书局1963年版。2《汉书·律历志》、《艺文志》、《楚元王传》。
3《后汉书·张衡传》。
4《后汉书·律历志》。
5唐释慧琳：《大藏经音义》卷六。
6《后汉书·马援传》。
7刘孝标：《世说新语》“文学”第四引《高士传》。
8《后汉书·蔡邕传》《四部丛刊》影明刊本《蔡中郎集·上汉书十志疏》。9李昉：《太平御览》卷七五四。
第四十四章天文学第一节历法从太初历到乾象历秦汉时期天文学得到了长足的展初步形成了我国的传统天文学体系。其中尤为突出的是独具特色的历法体系的形成。秦统一中国推行“车同轨书同文字”。又在全国统一施行颛顼历以建亥之月（十月）为岁年终置闰。汉承秦制仍用颛顼历但到汉武帝时颛顼历渐与实际天象不符把闰月总是放在闰九月也不能适应农业生产对掌握季节的需要司马迁等人提议改历。武帝于太初元年（公元前1o4年）下令从全国征募二十余人“议造汉历”。经过实测和推算共提出了十八种方案最后确定了邓平提出的81分法即每月有294381天每年有■3653851589天19年有7个闰月。
新历在太初元年颁行是为太初历。太初历的原文虽然失传但西汉末年刘歆按太初历改编的三统历却完整地保存下来成为现今能见到的最古老的一部完整的历法。它不仅包括根据日月运动推算朔望、24节气安排历日的方法还有推算日月食预告行星位置等内容这确立了我国古历的基本框架。制定历法必先造仪器搞天象观测按实测来确定数据和检验历法疏密这一原则在制定太初历前后得到了充分的体现也对后世产生了深远的影响。中国古历采用阴阳合历即以太阳的运动周期作为年以月亮圆缺周期作为月以闰月来协调年和月的关系。由太阳运动而确立的24节气反映了一年四季的变化与农牧业生产密切相关在汉初的《淮南子·天文训》中次出现了完整的24节气名称与现今通行的名称一致。24节气是相间的12个中气和12个节气的总称。太初历次确定以中气所在决定月的名称如雨水所在月为一月春分所在月为二月冬至所在月为十一月等等。而无中气的月无名称只能称为前一个月的闰月这一原则称无中气置闰。它合理地调整了年和月的关系使季节与月份大体稳定从太初历开始一直延用到现在。
东汉早期现了月亮的视运动不均匀即月亮每天的行度不一样而且知道了月行最快的地方每月朝前移三度。刘洪在乾象历（公元2o6年）里次把月亮的快慢不均匀编成表为后世月离表和日躔表的先声。要计算某一天月亮的位置应在平均值上再加上快慢多少的改正又用内插法推算任何时刻的月亮位置。采用了这些数学方法推算日月合朔和日月食生的时刻便提高了准确程度。刘洪还现月道（白道）和日道（黄道）不在一个平面上中间有六度夹角这就造成了不是每次日月合朔都生交食。他认为合朔时月亮离黄白交点过十五度半就不会生交食这就是生食的判断数据即现代的食限概念这一数据后代各历都遵用不改。
中国古历的特色从太初历到乾象历中国古历无论在内容、形式、计算方法等方面都形成中国的特色而跟欧洲历法有了明显的不同。如欧洲古罗马公元前46年起实行的格里高利历时代同中国的太初历相当年长也取用26514天同战国时古六历和东汉四分历相同。但月是31天和3o天两种与我国的朔望月不同它没有天文意义与月亮运动无关。格里历为阳历我国古历为阴阳合历。欧洲古历仅包括历日安排大小月年年相同而我国古历各年不同且还包括交食、行星、节气、晷漏等内容可以说是一种天文年历为了编制历法而带动了整个天文学的展。中国古历以观测为基础确定各种天文数据而以代数学方法处理这些数据推算天文学问题；欧洲从古希腊天文学以来一般以几何学系统立论来处理数据。我国古历以周天36514度的制度划分全天度下为分各历采用不同的进位制；欧洲以周天36o°为分划度下为分、秒皆以六十进位。秦汉以来由于皇权的加强而历法又由皇家颁行颁历权成为皇权的一部分。天文历法事业由皇室经办逐渐形成了我国天文事业的官办性质而民间研习天文历算逐渐受到了限制这也与西方的情况大不相同。
第二节浑仪和浑象浑仪天文仪器系统也在秦汉时代形成了。为了编制太初历的需要制造了观测天象、测量角度的仪器这就是浑仪和浑象的研制。西汉时落下闳就制造过浑仪据记载他是四川人“武帝征侍太史于地中转浑天改颛顼历作太初历”1。晋天文学家虞喜也说他“为汉孝武帝于地中转浑天定时节作太初历”2。这里的“地中”指阳城（今河南省登封县吉城镇）古传此地为地之中央。“浑天”即浑仪亦称浑天仪是用于观测的仪器以之测量日月行星恒星在天空的位置确定两个天体之间的角度。它应包括一个用来对准天体的管或衡又有刻有度数的标尺如地平环、子午环、赤道环等。当窥管或窥衡对准了要观测的天体时各种标尺所指示的读数就是天体的位置。东汉的贾逵还在浑仪上加进黄道环次制造了一架“黄道铜仪”。汉代的浑仪虽没有留传下来我们相信后世保留下来的浑仪不会跟它相去太远。
应该指出在制定太初历之前测量角度的天文仪器已经存在。战国时代石申编制的星表是基于角度的测量长沙马王堆西汉早期墓出土的帛书记载了秦汉时代几十年间行星的运动也是基于角度的测量3。《后汉书·律历志》曾提到汉初使用一种“圆仪”来量度日月的运动后来浑仪流行圆仪失传。1977年在安徽阜阳一西汉早期墓中出土了带有28宿距度的圆盘1可用于测量角度。这一器物的出土为研究早期的测角仪器提供了实物依据。浑象西汉末年扬雄所著《法言·重黎》里说：“或问浑天曰：落下闳营之鲜于妄人度之耿中丞象之。”这里的耿中丞即汉宣帝时大司农中丞耿寿昌他制造了一个浑象模拟浑天的运动情况。这种仪器大体是一个大圆球在球壳上刻着日月星辰利用它的转动演示天象的变化。汉代最著名的是张衡制造的“水运浑象”又叫“漏水转浑天仪”类似今天的天球仪利用水力来推动仪器的旋转度同天空的周日运动一致所以把仪器放在室内根据它的旋转也能知道室外的天象变化。在此基础上后来还明了钟表。浑仪和浑象历代都有制造从汉代以来成了我国古代观测天象的主要仪器。1唐司马贞《史记索隐》引《益部耆旧传》。
2《隋书·天文志》。
3见《马王堆汉墓帛书〈五星占〉释文》载《中国天文学史文集》科学出版社1978年版。1阜阳博物馆等：《阜阳双古堆西汉汝阴侯墓掘简报》《文物》1978年8期。第三节圭表和漏刻时间的计量随着生产和生活水平的提高对时间的要求也在变化原始社会的那种日出而作、日入而息的作息制度已嫌粗疏在殷商时代已将白天分成好几段。甲骨文中有旦、明、小采、大采、中日、昃、昏、夕等字。《左传》昭公五年（公元前537年）条说：“日之数十故有十时亦当十位。”说明古代曾将一天分成十时。《隋书·天文志》在记述古代的时刻制度时说：“昼有朝、有禺、有中、有晡、有夕夜有甲、乙、丙、丁、戊。”这可能就是一天十时而五夜之说也许就是五更的来源。《淮南子·天文训》中有一昼夜分成十五时的记载1而汉代的十二辰和百刻时制也相当流行2。时刻制度的展必然伴随着测时和计时仪器的进步。
圭表甲骨文中有关时间的字大多从日字说明测时的依据是太阳。根据太阳的运动判断一天内的时间变迁圭表是最早使用的仪器。一根竿子立在地上可以根据影子的长短和方向判断季节和一天内的时刻1967年在江苏仪征的一座东汉墓中出土了一件铜圭表不用时可以折叠起来像一把铜尺使用时将圭从表的凹槽中立起使用和携带都很方便。在圭表的基础上展起来的日晷到汉代已做得很精细1897年和1932年先后在内蒙、河南、山西出土了三块秦末汉初的晷仪3上有69条刻线占盘面的2/3其余部分没有刻线当为黑夜见不到日影的部分。三块出土地点不同而其结构和所刻字体都相同这表明秦汉时圭表和晷仪已很流行。
漏刻作