1936年维纳将华罗庚推荐给英国剑桥大学著名数学家g。h。哈代（hardy）盛赞华罗庚是中国的s。a。拉马努金（ramanujan）。华罗庚得中华文化教育基金会每年12oo美元的乙种补助以一个访问学者的身份去英国剑桥大学进修。哈代与j。e。李特尔伍德（litt1ewood）都很赞赏华罗庚保证两年可以给华罗庚博士学位但他却表示：“我来剑桥大学是为了求学问而不是为了学位。”
华罗庚在剑桥大学时结识了一批优秀的年轻数学家如h。海尔布伦（hei1bronn）、h。达文波特（davenport）、t。埃斯特曼（estermann）r。a。兰金（rankin）与e。ch。蒂奇马什（titchmarsh）等人他们互相切磋并从他们那里得到不少帮助。
在英国华罗庚致力于解析数论特别是圆法与三角和估计的研究。他的工作水平有了实质的提高。例如关于完整三角和的估计、华林问题与e。普罗黑（prouhet）问题（或普罗黑塔利（tarry）问题）等的重要研究经过半个世纪的考验他当时的论文已成为众所周知的经典文献。
1937年抗日战争爆华罗庚于1938年毅然回到云南省昆明市。鉴于他的学术水平与才华不少大学争聘他。清华大学数学系主任杨武之破格提拔华罗庚为正教授于是他在位于昆明市的西南联合大学（由清华大学、北京大学与南开大学联合组成共同招生各校自聘教授三校研究生自由选课与参加讨论班）执教。这时他虽然仍继续其数论研究并完成他的专著《堆垒素数论》但他的主要研究兴趣已从数论转移而致力于群论、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论的研究。围绕这些学科华罗庚与其他数学家一起倡导并主持了各种讨论班。参加过他的讨论班而以后闻名的数学家中有段学复、闵嗣鹤、樊■、徐贤修受过他的影响及听过他的课的青年还有蓝仲雄、王湘浩、孙本旺、彭慧云、田方增、徐利治、钟开莱与严志达等人。1946年2至5月华罗庚应苏联科学院与苏联对外文化协会邀请到苏联进行了3个月的访问。
由于美国原子弹的震撼国民政府军政部部长陈诚、次长兼兵工署长俞大维欲建立国防科技乃经由曾昭抡邀华罗庚与吴大猷去重庆商谈。他们向陈诚、俞大维陈述我国科学落后应由培养人才入手。陈诚、俞大维采纳此议。由军政部资助两年费用华罗庚、曾昭抡、吴大猷率优秀青年孙本旺（数学）、朱光亚、李政道（物理）、唐敖庆、王瑞駪（化学）一行于1946年7月初由上海乘船赴美。
在美国期间华罗庚先在普林斯顿高级研究院做研究工作又在普林斯顿大学教授数论课。那时在普林斯顿有徐贤修、王湘浩、闵嗣鹤（数学）、张文裕、吴健雄、袁家骝（物理）、梁守榘（化学）、尤桐（考古）等人。1946年底华罗庚在美国治疗腿疾。他的腿治愈后基本上可以正常行走。1948年春华罗庚应伊利诺伊大学之聘任正教授直至195o年2月回国为止。华罗庚在美期间在数论、代数与复分析方面做了大量的研究工作。中华人民共和国刚成立华罗庚就率全家于195o年2月乘船途经香港于3月16日回到北京。他执教于清华大学数学系并筹备成立中国科学院数学研究所。1951年他被任命为中国科学院数学研究所所长。1955年华罗庚又被任命为中国科学院数理化学部委员数理化学部副主任。
早在1946年华罗庚就指出：“我国将来数学研究所的工作似乎不应当只偏重于纯粹数学或纯粹数学的一部分而已。”建所之初按上述蓝图研究所广泛网罗人才工作进展神。数学所先设有数论（华罗庚、越民义、王元、许孔时、吴方、魏道政）与微分方程（吴新谋、秦元勋、王光寅、丁夏畦、邱佩璋）两组相继成立了代数组（华罗庚、万哲先）函数论组（华罗庚、陆启铿、龚昇）拓扑组（吴文俊、张素诚、孙以丰）泛函分析组（关肇直、田方增、冯康）数理逻辑组（胡世华、唐稚松、陆钟万）概率统计组（王寿仁、张里千）理论物理组（张宗燧、戴元本）力学组（庄逢甘、林鸿荪、罗时钧、沈元、李敏华、胡海昌）计算机设计组（闵乃大、吴几康、夏培肃）。熊庆来于1957年回国函数论室加设单复变函数论杨乐、张广厚是熊庆来晚年的研究生。华罗庚在见到厦门大学青年陈景润关于塔利问题的一篇文章后认为他有培养前途而将他调来数学所工作。华罗庚领导了“数论导引”与“哥德巴赫（gobach）猜想”两个讨论班。他还领导了多复变函数论与代数方面的工作。除此之外他曾建议关肇直、田方增研究赋范环论建议冯康研究广义函数论。数学所还向全国开放来所工作过的有李国平、李修睦、梁之舜、张远达、钟同德、林坚冰、严士健等。得益于在数学所期间的工作而成为学部委员者近2o人。这个阶段华罗庚写成《数论导引》（1957）、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》（1959）、《指数和估计及其在数论中的应用》（1963）与《典型群》（与万哲先合作1963）4本专著。华罗庚的主要研究工作为定出4类典型域上的完整正交系。这项工作荣获1956年颁的第一届国家自然科学一等奖。195o年毛泽东主席会见华罗庚时曾希望他培养出一些好学生来。建所后华罗庚十分注意培养学生他在撰写专著的过程中总是组织讨论班对他所写的材料加以讲述、讨论与修改使学生在实践中学会做研究提高独立工作能力。华罗庚还注意数学知识的普及工作在报纸上表了不少介绍治学经验与体会的文章。从1956年开始华罗庚即在中国倡导高中学生的数学竞赛活动为此他为中学生写过5本通俗易懂的小册子。总之从195o至1957年华罗庚的一切工作都得到政府与数学家的广泛支持工作成效十分显著。华罗庚高瞻远瞩始终坚持对苏联与西方先进数学的学习。这期间他还不断致力于争取华裔数学家回国工作。
1957年华罗庚与曾昭抡、钱伟长、千家驹、童第周就科技问题在《光明日报》上联名表文章提了几个正确意见。这一具有良好愿望的文章竟被说成是所谓反党反社会主义的科学纲领。曾昭抡与钱伟长被错划为“右派分子”。华罗庚、千家驹与童第周虽然得到保护而免遭划为右派但仍受到多次“批判”。1958年《人民日报》登载了所谓“走白专道路”的文章由此在全国掀起了“拔白旗运动”华罗庚又作为数学研究所的重点批判对象他与一些正直的数学家被剥夺了言权。
1962年华罗庚以极大的勇气来整顿数学研究所。他倡议在数学所的研究实习员中进行一次基础课考试成绩优秀者提升成绩太差者调出数学所工作。经过这次整顿数学所又逐渐走上正轨。华罗庚还在数学所开辟了一个“练拳园地”出题目给大家做以提高对数学基础知识的掌握。但好景不长从1964年开始形势又在向“左”转了。华罗庚的一系列正确做法被说成是所谓“考、提、调”三板斧是砍向“革命群众”的三板斧是“资产阶级的反攻倒算”。他被迫离开数学研究所去中国科学技术大学从事研究与教学工作。华罗庚于1958年被任命为中国科学技术大学副校长兼数学系主任。华罗庚在科技大学期间写成专著《高等数学引论》。
从1958年开始华罗庚致力于数论方法在近似分析特别是在多重定积分的近似计算中的应用研究（与王元合作）及混合型偏微分方程的研究。至1965年华罗庚将他的主要精力放在数学方法在工业上的普及应用方面。他选择适合中国工业实际水平的“优选法”与“统筹法”（简称“双法”）加以推广应用。近2o年的时间里他与陈德泉、计雷等人一起足迹遍布中国2o多个省、市、自治区的厂矿工交企业给工人讲课既普及了数学知识又取得很好的经济效益影响颇为深远。
1966年爆了持续1o年之久的“文化大革命”。华罗庚的家被查抄过3次手稿散失殆尽不少工作无法再继续进行。他被贴了不少充满了造谣污蔑之词的大字报还遭到几次批判。这一情况至1967年即告终止他可以安静地呆在家里甚至可以出去普及“双法”。较之中国的绝大多数知识分子华罗庚可算是幸运的。1975年华罗庚得了心肌梗塞经治疗虽幸免于死但却种下了致命的病根。
1976年“文化大革命”结束了。从1979年开始的数年间华罗庚在朋友与学生的协助下完成专著《数论在近似分析中的应用》（与王元合作1978）《从单位圆谈起》（1977）《优选学》（1981）与《华罗庚论文选集》（hualookengse1）。他还以学者身份3次出国讲学。1978年他被任命为中国科学院副院长。198o年中国科学院数学研究所分成数学所、应用数学所与系统科学所。华罗庚除继续担任数学所所长外还被任命为应用数学所所长直至1983年底为止。1979年法国南锡大学授予他荣誉博士称号以后香港中文大学（1983）与美国伊利诺伊大学（1984）也授予他荣誉博士称号。他还被选为美国科学院国外院士（1982）第三世界科学院院士（1983）与德国巴伐利亚科学院院士（1985）。这些年来华罗庚仍积极工作他想多做些事将失去的光阴补回来但终究年迈体弱力不从心了。1985年6月12日华罗庚在日本东京大学作完演讲由于心脏病突然作而去世。
除数学家生涯外华罗庚还积极地参加社会政治活动。从1951至1983年华罗庚均为中国数学会理事长。又曾任第二届中国科学技术协会副主席第一至第六届全国人民代表大会常务委员会委员第六届全国政治协商会议副主席。他曾参加第一次国共合作时期的国民党。1979年6月加入中国共产党。
华罗庚是世界知名的数学家他在数学方面的卓越成就简述如下：1。指数和估计及堆垒素数论。
命q为整数＞1f（x）=akxk＋。＋a1x为整系数多项式满足（ak。a1q）=1（即互素）。记sqfefxqexexq（；）（/）；===。12pix华罗庚在194o年证明了：对于任何e＞o皆有｜（；）｜（；）sqfckqk≤ee11＋其中c（ke）为仅依赖于k与e的常数。这一结果是臻于至善的。它是c。f。高斯（gauss）和与高斯定理的推广：｜（；）｜sqxq22≤。关于指数和的积分平均华罗庚证明了：对于任意e＞o当1≤j≤k时有o1122o。=＋eafxdajjj（）（；）≤。ee由这两条重要定理及维诺格拉多夫关于h。外尔（wey1）和的估计及他关于素变数三角和的估计华罗庚研究了方程n=f1（x1）＋。＋fi（xi）的可解性问题此处fi（x）（1≤i≤s）为s个k次项系数为正的整值多项式n为给定正整数。特别当fi（x）=xk时就得到著名的华林问题。若在方程中限制xi取素数fi（x）=x及s=23即得著名的哥德巴赫猜想。对于华林问题先是希尔伯特于19oo年证明了存在充分大时最小的s记为g（k）以后哈代与利特尔伍德用他们的“圆法”对g（k）作了定量估计。维诺格拉多夫则大大地改进了g（k）的估计他还证明了“三素数定理”即充分大的奇数都是三个素数之和。华罗庚将华林问题的重要结果基本上推广到上述方程的情况而且限制变数为素数自然包括“三素数定理”作为特例。他的成果总结在他的专著《堆垒素数论》之中。这本书已成为经典著作。
解析数论最上乘的工作之一是有一个纯分析的不等式（这称为方法）并附有这一不等式的重要应用。华罗庚的工作就是这样的。
在华罗庚领导的堆垒素数论中心问题哥德巴赫猜想讨论班上王元、潘承洞与陈景润相继对筛法、大筛法应用及哥德巴赫猜想的结果作出改进。陈景润于1966年证明了：每一充分大的偶数都是一个素数与一个不过两个素数之积之和。
2。体论。
若一个环k其每一元素关于乘法都有逆元素但对乘法来说是非交换的则k称为体。命σ是体k到它自身的一个一一映射。如果σ满足（a＋b）σ=aσ＋bσ；（aba）σ=aσbσaσ；1σ=1；则称σ为半自同构。熟知的半自同构的例子为自同构：（ab）σ=aσbσ与反自同构：（ab）σ=bσaσ。问除此之外还有无其他半自同构？华罗庚于1949年证明了：每一个半自同构或为自同构或为反自同构。
同年华罗庚还给下面结果一个初等证明：体的每一个真正规子体均包含在它的中心之中（h。嘉当（）r。d。布劳尔（brauer）华氏定理）。p。t。贝特曼（bateman）用莎翁名著《罗米欧与朱丽叶》中的诗句“没有一口井那么深也没有教堂门那么宽像茂丘西奥的伤口一样致命呀！”来赞扬华罗庚的一些结果。
195o年华罗庚还证明了体的乘法群的一个定理：体的乘法群不是亚阿贝尔群。
3。矩阵几何、自守函数�
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