上能实现的事实，将会在本章后面产生某些惊人的推论。自旋和态的黎曼球面量子力学中称为“自旋”的量有时被认为所有物理量中最 “量子力学”的。这样，我们对之稍微多加注意是明智的。什么是自旋？它本质上是粒子旋转的度量。“自旋”这个术语暗示某种像板球或棒球自旋的东西。让我们回忆一下角动量的概念，正如能量和动量一样，它是守恒的（见第五章190页和266页）。只要物体不受摩擦力或其他力的干扰，它的角动量就不随时间改变。量子力学的自旋的确是如此，但是我们这里开心的是单独粒子的“自旋”，而不是大量的单独粒子围绕着它们共同质心的轨道运动（这正是板球的情形）。物理学的一个显著事实是，自然中发现的大多数粒子在这种意义下的确是在“自旋”，每种粒子都有自己固有的自旋的大小8。然而，正如下面要看到的，单独量子力学粒子的自旋有一种我们绝不能从自旋着的板球等等的经验所能预料到的某种特殊的性质。首先，对于每一特殊类型的粒子，其自旋的大小总是一样的。只有自旋的轴的方向可以（以一种我们就要讲到的非常奇怪的方式）改变。这和板球的情形形成全然的对比，板球可依出球方式的不同具有任意大小任意方向的自旋！对于电子、质子或中子，自旋大小总为 ，刚好是玻尔 h/ 2原先允许的一个原子的量子化的角动量的最小正值的一半。（我们记得这些值为 ， ， ， ，……）我们在这里需要基本单位的一半―― 0 2 3 h h h而在某种意义上， 本身是更基本的单位。只包括一些公转的粒子而 h/ 2每一个粒子都不自旋的对象不允许有这个角动量值。它只能是由自旋为粒子自身的固有的性质而引起的（也就是说，不是因为它的“部分”围绕某种中心的公转引起的）。具有自旋为 的 数倍（如 ， 或 等等）的粒子 h h h h / 2 / 2 3 / 2 5 / 2 奇称为费米子。它在量子力学描述中呈现出非常奇怪的行径：完整的360°的旋转使态矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身！自然界的许多粒子的确是费米子。它们古怪的形式，对我们自身的存在是如此之关键――我们在后面还要讲到。余下的自旋为 的偶数倍，也就是 的整数倍（即 h h / 20 2 3 360 ， ， ， ，……）的粒子称作 。在 °的旋转下，玻 h h h 玻色子色子的态矢量回归到自身，而不是它的负矢量。
考虑一个 也就是自旋值为 的粒子。为了确定起见，假定 半自旋 h/ 2粒子为电子，但质子、中子或甚至某种原子的情形也是一样的。 （一个 “粒子”可以允许具有个别部分，只要它整个可以用量子力学处理，并具有定义得很好的角动量就可以了。）我们使电子处于静止状态，并只考虑其自旋态。现在量子态空间（希尔伯特空间）只有二维，所以我们可以采用只有两种状态的基。我把这些态标成｜↑＞和｜↓＞。其中｜↑＞表示按右手定则垂直向上的自旋，｜↓＞表示向下的自旋（图6。24）。态｜↑＞和态｜↓＞是相互正交的，我们并将它们归一化（｜↑｜2=｜↓｜2=1）。电子任何可能的自旋态都是这仅有的两个正交态｜↑＞和｜↓＞也就是向上和向下的态的线性叠加，譬如w｜↑＞＋z｜↓＞。
图6。24电子自旋态的基由两种状态组成。它们可取作自旋向上和自旋向下的两种态。关于“向上”和“向下”的方向并没有什么特别之处。我们可以一样便利地选择在任何其他方向的自旋，譬如向右｜→＞和相反的向左｜←＞的态去描述。然而，（对于｜↑＞和｜↓＞的适当的复数比例的选取，我们发现｜→＞=｜↑＞＋｜↓＞以及｜←＞=｜↑＞―｜↓＞。这为我们提供了新的视角：任何电子的自旋态都是两正交态｜→＞和｜←＞也就是向右的和向左的态的线性叠加。 我们可以另外选择完全任意的方向，譬如态矢量｜‰＞指定的方向。这又是｜↑＞和｜↓＞的某种复线性叠加，譬如｜‰＞=w｜↑＞＋z｜↓＞，而每一个自旋态为此态和与它正交的态｜？＞（指向和｜‰＞相反9）的线性叠加。（注意，在希尔伯特空间中的“正交”的概念不需要对应于通常空间的“直角”。此处正交的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，而不是两个方向夹直角。）
什么是｜‰＞在空间中所决定的方向和两个复数w和z的几何关系呢？由于｜‰＞给出的物理态并不因为被用任何非零复数去乘它而改变，所以只有z和w的比才有意义。将这个比写作q=z/w。q只是某个复数，除了为了和w=0的情形相一致而“q=∞”，也就是当自旋方向垂直向下也是允许的以外。除了q=∞以外，我们总能用q代表复平面上的一点，正如我们在第三章所做的。我们可以想象复平面水平地处于空间中，按上面的描述实轴的方向“向右”（亦即在自旋态｜→＞的方向上）。想象一个中心在复平面原点上的单位球面，这样点l，i，…1，…i都在球面的赤道上。我们将南极上的点认为是∞，然后从该点开始投影，这样整个复平面都被映射到球面上。任何复平面上的点q都在球面上对应唯一的点q，它可由这两点必须和南极联成直线而得的（图6。25）。这一对应称之为立体角投影。它具有美丽的几何性质（亦即它保持角度并将圆映射成圆）。该投影使我们可用复数和∞一起，也就是所有可能的比q的集合，来标记球面上的每一点。以这种特殊方式标记的球面称作黎曼球面。
① 大卫？希尔伯特，我们已在前面的章节中遇到了他的名字，在量子力学发现以前很久，他在无限维的情况下，并为了完全不同的数学上的目的，引进了这个重要的概念！黎曼球面对于电子自旋态的意义在于，态｜‰＞=w｜↑＞＋z｜↓＞的自旋方向和由从中心到黎曼球面上标记有q=z/w点的实际方向一致。我们注意到，北极对应于态｜↑＞，它是z=0，也就是标记作q=0，而南极为｜↑＞，标记作w=0亦即q=∞。最右的点标记着q=1，它提供｜→＞=｜↑＞＋｜↓＞，而最左的点q=…1提供了｜←＞=｜↑＞…｜↓＞。绕过球面最远的点标作q=i，相应于态｜↑＞＋i｜↓＞，其自旋的方向直接离开我们，而最近的点为q=…i，对应于｜↑＞…i｜↓＞，其自旋直接指向我们。而一般的标记为q的点对应于｜↑＞＋q｜↓＞。
图6。25此处用黎曼球面来表示自旋为1/2的粒子的物理上不同的自旋态。球面从它的南极（∞）被立体地投影到通过其赤道的复平面上去。所有这一切和人们要进行的电子自旋的测量有什么关系呢10？在空间选取某一个方向；我们称为α。如果我们在此方向测量电子自旋，答案为是表明电子（现在）的确以右手定则在α方向自旋，而非表明自旋的方向和α相反。假定答案为是；那么我们将此结果的态标记为｜α＞。如果我们简单地重复此测量，利用和前面完全同样的方向α，则我们的答案应该又是百分之百的概率为是。但是如果在第二次测量时我们改变方向，改到一个新的β方向，则会发现答案为是的跃迁到态｜β＞上去的概率小了。还有答案为非的跃迁到和β相反方向的态上去的概率。如何计算此概率呢？答案是在上节结尾处的方案中。第二次测量为是的概率为12（1＋ cos ） θ ，这里θ是两个方向α，β之间的夹角11。相应地，第二次测量为非的概率为12（ θ）。 1 …cos我们从这里能看到，如果第二次测量是在与第一次夹角直角的情况，则两种结果的概率都为百分之五十（cos90°=0）：第二次测量的结果完全是随机的！如果两次测量的夹角为锐角，则答案为是的可能性比非要更多。如果为钝角。则非的可能性更多。在β和α相反的极端情形下，答案为是的概率为0，而为非的概率为百分之百；也就是说，第二次测量的结果一定是和第一次相反。（参见费因曼等1965关于自旋的更详尽的讨论。）黎曼球面实际上对于任何双态的量子系统，在描述一系列可能的量子态（准确到一个比例系数）时起着基本的（但是未被广泛认识到的）作用。对于半自旋的粒子，它的几何作用特别明显，因为球面上的点对应于自旋轴的可能的空间方向。在其他很多情形，难以看到黎曼球面的作用。考虑刚刚通过双缝隙，或从半镀银镜子反射回来的光子。光子态为某个描述两个完全不同位置的双态｜ψt＞和｜ψb＞的诸如｜ψt＞＋｜ψb＞，｜ψt＞…｜ψb＞或｜ψt＞＋i｜ψb＞等等的线性组合。黎曼球面仍然描述物理上一系列不同的可能性，但现在仅仅是抽象地。态｜ψt＞由北极（“顶”），｜ψb＞由南极（“底”）分别代表。而｜ψt＞＋｜ψb＞，｜ψt＞…｜ψb＞以及｜ψt＞＋i｜ψb＞由赤道上的不同的点代表。一般地，w｜ψt＞＋z｜ψb＞为点q=z/w所代表。 在很多情况下， 正像这个例子， “黎曼球面可能的价值”相当隐蔽，和空间几何没有清楚的关系。客观性和量子态的可测量性尽管我们在正常的情况下只能为实验的结果提供概率的这个事实，关于量子力学的态似乎有某些客观的东西。人们经常断言，态矢量只为了方便描述“我们已知”的物理系统――或者，态矢量也许实际上并不描述一个单独的系统，而仅仅是提供大量制备好的类似系统在“系综”方面的概率信息。在关于量子力学告诉我们物理世界的实在性方面，我觉得这种意见过分胆怯。
有关态矢量的“物理实在性”的一些谨慎或怀疑，是由于按照该理论，物理上可测量的东西严格地受到限制这个事实引起的。让我们考虑上述的电子自旋态。假定自旋态刚好是｜α＞，但是我们不知道这些，也就是说我们不知道电子自旋的方向α。我们能否用测量来决定此方向呢？不，我们不能。我们最多能做的只是提取“部分”信息――就是简单的是或非问题的答案。我们可以选取空间中的某个方向β并在该方向上测量电子自旋。我们得到的答案非是即非，但在此之后，我们就丧失了关于原先自旋方向的信息。答案为是的话，我们知道现在这个态和｜β＞成比例；答案为非的话，则现在的态在和β相反的方向上。没有任何一种情形告诉我们测量之前态的方向α，它仅仅是给出了关于α的某种概率的信息。另一方面，似乎有某种完全客观的关于方向α的东西，电子在测量之前“刚好沿着这个方向自旋”①。由于我们也许选定了在方向α上测量电子的自旋――而电子必须肯定地给出的答案，如果我们刚好猜中了的话！
无论如何，电子的自旋态中贮藏着电子实际上必须给出的这个答案的“信息”。我似乎觉得，在按照量子力学来讨论物理实在的问题时，我们应该将什么是“客观的”和什么是“可测量的”区别开来。在对一个系统进行实验时，不能准确地（除了比例系数外）断定它处于何态，也就是说系统的态矢量的确是不可测量的。但是，态矢量似乎的确 （又是除了比例系数外）是系统的完全客观的性质，它为人们可能进行的实验的结果所完全表征。
在诸如电子的半自旋的单独粒子的情形，因为它仅仅断言存在电子自旋被精确定义的某方向，即便也许我们不知道这个方向，这种客观性也不是不合理的。（然而，以后我们会看到，对于更复杂的系统，这个“客观的”
图像会变得更奇怪得多――甚至对于仅仅包含一对半自旋粒子的系统而言也是如此。）但是，在电子自旋被测量之前它必须有一个物理上定义的态吗？在许多情形下，它没有必要。因为它自身不能被认为是一个量子系统，物理态① 这里必须在允许矢量的无限求和的意义下才行。希尔伯特空间牵涉到了有关这种无限求和的规则（由于这些过于技术性了，所以我不详细论及）。一般地必须认为是一个和其他大量粒子纠缠在一起的电子的描述。然而在特殊情形下，可以考虑电子本身（至少就其自旋而言）。按照标准的量子理论，在这种情况下，譬如它的自旋的方向预先（也许未知的时刻）被测量过之后的一段时间内没受到干扰，那么电子就具有完全客观的定义好的自旋方向。复制量子态电子自旋态的客观性以及不可测量性阐释了另一个重要事实：不能在使原先的态不被触动的情形下将其复制。因为假定我们能对一个电子的自旋态｜α＞进行复制。若能复制一遍，则能两遍多遍地复制。结果的系统会在一个定义得非常好的方向上具有大的角动量。可由宏观测量把这个方向｜α＞确定下来。这就违反了自旋态｜α＞的