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为了得到干涉，两个不同选择都必须有贡献，有时“相加”――正如人们预料的那样相互加强到两倍――有时“相减”――这样两者会神秘地相互“抵消”掉。事实上，按照量子力学的规则，所发生的事比这些还更神秘！两种选择的确可以相加（屏幕上最亮的点），两者也的确可以相减（暗点）；但它们实际上也会以另外奇怪的组合形式结合在一起，例如“选择A”加上i乘以“选择B”，这儿是我们第三章的“负一的平方根”（ － ）（在屏幕上中等强 i = 1度的地方）。事实上任何复数都能在“不同选择的组合”中起作用！
读者可能会记得在第三章时我的复数对于“量子力学的结构是绝对基本的”警告。这些数绝不仅仅是数学的精巧。它们通过令人信服的、使人意外的实验事实来迫使物理学家注意。我们必须接受复数权重才能理解量子力学。现在我们接着考虑它的推论。概率幅度在上面的描述中利用光子并无任何特别之处。这里可以同样好地利用电子或任何其他种类的粒子或者甚至原子。量子力学的规则坚持，甚至连棒球和大象都应以这种古怪的方式行为，不同选择的可能性可用复数的组合“相加起来”！然而，我们从未在实际中看到棒球或大象这种奇怪方式的叠加。为什么我们没有见到呢？这是一个困难的富有争议的问题，我现在还不想去对付之。作为工作规则，现在让我们简单地假设物理描述有两种不同可能的水平，我们将其称为量子和经典水平。我们只在量子水平上利用这些古怪的复数组合。棒球和大象是经典水平上的对象。
量子水平就是分子、原子和次原子粒子的水平。这通常被认为是非常“小尺度”现象的水平，但是这个“小”实际上并非是指物理尺度。我们将会看到量子效应能在许多米甚至一光年的距离上发生。如果认为只牵涉到非常小的能量差，这才有点接近于认为某种东西是“处于量子水平上”的特征。（以后我将尽力弄得更精确些，尤其是在第八章的424页）。经典水平就是我们直接了解的“宏观”水平。在这水平上，我们的“事物”发生的通常图像是正确的，并且可以使用通常的概率观念。我们将看到在量子水平上，我们必须使用的复数和经典概率有紧密的关系。它们并不真正相同，但是为对付这些复数，先回顾一下经典概率的行为是有益的。
考虑一个不确定的经典情形，两种选择之中我们不知哪一种会发生。
可将这种情形描述作这些选择的“加权”组合：
pד选择A”加上qד选择B”
此处p为A发生的概率，而q是B发生的概率。（要记住，概率是在0和1之间的实数。概率1表明“一定发生”，而概率0表明“一定不发生”。概率1/2表明“发生和不发生是同等可能的”。）如果A和B是仅有的不同选择，则两者概率的和必须是1：P＋q=1。
然而如果还有其他选择，则此和可以比1小。那么，比率p∶q就给出了发生A和发生B的概率的比率。在只有两种选择时，发生A和发生B的实际概率分别为p/（p＋q）和q/（p＋q）。如果p＋q比1大，我们还可以这样地解释。（这可能是有用的，例如，只要我们进行了多次的实验，p为发生A的次数，q为发生B的次数。）如果p＋q=1，我们就说p和q是归一化的，这样它们就给出了实际的概率，而不仅仅是概率的比率。在量子力学中我们将做一些显得与此非常相似的事，现在P和q变成为复数――我将使用w和z分别表示之wד选择A”加以zד选择B”
我们如何解释w和z呢？由于它们会各自独立地变为负数或者复数，它们肯定不是通常的概率（或概率比），但是在许多方面很像概率。它们被叫作（适当地归一化之后――见后面） 概率幅度，或简单地称作幅度。此外，人们经常用这类暗示概率的术语，如：“发生A的幅度为w和发生B的幅度为z”。它们不是实际的概率，但是我们假装它们是――或宁愿说成概率在量子水平上的相似物。
通常的概率如何起作用呢？考虑一个宏观对象将有助于理解， 譬如说打一个球使之穿过两个洞中的一个再到后面的屏幕去――正如上述的双缝实验那样（参见图6。3），但现在我们用经典的宏观球取代了前面讨论的光子。从 s将球打到上洞的概率为P （s， t），打到下洞的概率为P （s， b）。而且，如果我们在屏幕上选取特定的一点p，只要球的确通过t，则到此特定的p点的概率为P（t，p），而球通过b到达p的概率为P（b，p）。如果只有上面的洞t是开放的，则球通过t到达p的实际概率为将从s到t的概率乘上从t到p的概率：（s，t）×P（t，p）。
类似地，如果只有下面的洞是开放的，则球从s到p的概率为P（s，b）×P（b，p）。如果两个洞都开放的话， 则从s通过t到达p的概率仍为第一表达式P （s，t）×P（t，p），正如只有t洞开放时那样。而从s通过b到p的概率仍为P（s，b）×P（b，p）。所以，从s到p的总概率P（s，p）为两者之和P（s，p）=P（s，t）×P（t，p）＋P（s，b）×P（b，p）。
在量子水平上，除了现在是奇怪的复的幅度起着我们前面的概率的作用外，其规则和这一模一样。这样，在上面考虑的双缝实验中，光子从源s到上缝t我们有一幅度A （s， t），从上缝到达屏幕上p点有一幅度A （t，p），两者相乘得到从s通过t到达p的幅度A（s，t）×A（t，p）。
作为概率，假定上缝是开的，不管下缝是否打开，这都是正确的幅度。类似地，假定b是开的，则存在光子从s通过b到达p的幅度（不管t是否打开）
A（s，b）×A（b，p）。
如果两条缝隙都打开，我们可得到光子从s到p的总幅度A（s，p）=A（s，t）×A（t，p）＋A（s，b）×A（b，p）。这一切都非常好。但是，我们在量子效应被放大达到经典水平从而知道如何去解释这些幅度之前，它对我们并没有多大用处。我们可把一个光子探测器或光电管放在p处，它提供了把量子水平的事件――光子抵达p――放大成经典的可辨别得出的发生，例如听得见的“咔啦”一声。（如果屏幕的作用相当于照相底版，使得光子留下可见的斑点，那么这也是一样的。但为了清楚起见我们就用光电管好了。）必须存在产生“咔啦”一响的实际的概率，而不仅仅是这些神秘的“幅度”！当我们从量子水平变到经典水平时，如何从幅度过渡到概率呢？人们发现这里有一种非常美丽而神秘的规则。其规则是我们必须对量子的复的幅度取平方模以得到经典的概率。什么是 “平方模” ？回忆一下我们在复平面上的复数的描述 （第三章101页）。
复数z的模｜z｜简单地就是z离开原点（也就是点0）的距离。平方模｜z｜2即是这个数的平方。这样，如果我们写z=x＋iy，这儿x和y都是实数。由于从0到z的连线为直角三角形0，x，z的斜边，从毕达哥拉斯定理得知我们所需的平方模是｜z｜2=x2＋y2注意，为了使之成为一个真正的“归一化的”概率，｜z｜2的值必须在0和1之间。这表明对于适当归一化的幅度，在复平面上z必须处于单位圆内的某处（见图6。8）。然而，有时我们要考虑组合wד选择A”＋zד选择B”，此处w和z仅仅是和概率幅度成比例，它们没必要在单位圆内部。它们归一化（并因此提供真正的概率幅度）的条件是平方模的和必须为1：丨w丨2＋丨z丨2=1。
图6。8用复平面上单位圆内的点z来代表概率幅度。其与中心的距离的平方｜z｜2可成为当效应被放大到经典水平时的实际概率。如果它们不是归一化的，则A和B的实际幅度应分别为w w z z w z / / ；2 2 2 2＋ ＋ 和它们都处于单位圆内部。
现在我们看到，概率幅度根本不像真正的概率，而更像概率的“复数平方根”。当量子水平上的效应被放大到经典水平上时，这会发生什么影响呢？我们记得，在进行概率和幅度运算时，我们有时要将它们相乘，有时将它们相加。第一点值得注意的是，乘法运算在从量子过渡到经典规则时没有什么问题。这是因为乘积的模数等于各自模数的乘积的这一显著的数学事实丨zw丨2=丨z丨2丨w丨2（这个性质可由第三章的一对复数的乘积的几何描述立即得出；但是若按照实部和虚部z=x＋iy w=u＋iv，这还算是一点奇迹。不妨试一下！）
此事实的含义是，如果只有一条通道对粒子开放，也就在双缝实验中只有一条缝隙（譬如t）开放，即可以“经典地”论证，不管是否在中间某点（譬如在t）进行附加的粒子检测，出来的概率必须是一样的①。我们① 也许我们可以说，波动方程和马克斯韦方程类似，（参阅215页的注脚）也是一个相对论性方程。这样，可以在两个阶段或只在最后取平方模，也即丨A（s；t）丨2×丨A（t；p）丨2=丨A（s；t）×A（t；p）丨2，对于最后的概率，其结果都是一样的。然而，如果多于一条通道可让粒子通过（也即如果两条缝隙都开放的话），则我们要求和，而量子力学的特征就在这里开始出现。当我们取两个复数w和z的和w＋z的平方模时， 通常不能得到它们各自的平方模的和；还有附加的“修正项”：丨w＋z丨2=丨w丨2＋丨z丨2＋2丨w丨丨z丨cosθ。
此处θ为点z和w对复平面原点所张的角（见图6。9）。（我们知道，一个角的余弦是一直角三角形的“邻边/斜边”比。不熟悉上式的敏捷读者可用第三章引进的几何去直接推导之。实际上，这正是众所周知的“余弦法则”，只不过稍微伪装了一下！）正是修正项2｜w｜｜z｜cosθ提供了量子力学的不同选择间的量子干涉。cosθ的值的范围在…1和1之间。我们在θ=0°时有cosθ=1。这时这两种选择相互加强，使得总概率比单独概率之和更大。我们在θ=180°时有cosθ=…1，这时这两种选择便相互抵消，使得总概率比单独概率之和更小 （对消干涉）。我们在θ=90°时有cosθ=0。
这时得到了一种中间状态，两种概率相加。对于大的或复杂的系统修正项通常被“平均掉了”――因为cosθ的“平均”值为零――我们就余下通常的经典概率的规则！但是在量子水平上这些项提供重要的干涉效应。
图6。9有关两个幅度的和的平方模的修正项2｜w｜｜z｜cosθ的几何。
考虑双缝都打开时的双缝实验。到达p的光子幅度为和w＋z，此处w=A（s，t）×A（t，p）和，z=A（s，b）×A（b，p）。在屏幕的最亮的点我们有w=z（这样cosθ=1），所以丨w＋z丨=丨2w丨2=4丨w�