在前面已经提到的属于有用的范畴的大爆炸标准宇宙模型之间存在一种紧密的联系。我相信，在这两组观念之间（现在还缺一部分）的某种联合，在必需的意义上，甚至会被认为属于超等的范畴的物理理论。
这是我还要在后面论述的内容。
3。我的同事们问我应将“扭量理论”归于何类。这是一种观念和技巧的精心集合，我自己曾为此花费了许许多多的心血。就扭量理论作为物理世界的一个不同理论而言，它只能被收到尝试的范畴中。
4。然而，伽利略经常用水钟来为其观察定时，见巴博（1989）。
5。用牛顿的名字来命名这个模型――的确就“牛顿”力学总体而言――仅仅是一个方便的标志。牛顿自身对于物理世界的实际性质的观点似乎不像这么独断，而是更微妙，更难以捉摸。（最有力地促进这一“牛顿”
模型的人要算R。C玻斯科维奇1711―1787）。
6。拉飞逸？索金曾向我指出，存在一种意义，在这种意义上，可用一种和对（譬如讲）牛顿系统所用的相似的方式来“计算”此一特殊的玩具模型。我们可摹想一个计算序列C1，C2，C3…，这些步骤允许将系统的行为计算到越来越后而没有时间的极限，并且不断增加精确性（参阅198、199页）。在现在情况下，为了达到这个目的，我们可允许将图灵机动作Tu（m）进行N步定义为CN，如果这一动作那时还不停止则“认为”Tu（m）=□。然而，在Tu（m）=□的地方，由引进牵涉到诸如“对所有的qT（q）
停止” 的双重量化的陈述的演化， 不难修正我们的玩具以战胜这类 “计算”。
（存在无限多对相差为2的质数的未解决问题即为这样的陈述的一个例子。）
7。正如第四章（169页注9）提示的，新的柏龙――沙柏――斯马勒（1989）理论可提供一种在数学上更能接受的方法来解决其中的一些问题。8。伟大的意大利/法国数学家约瑟夫？L？拉格朗日（1736―1813）大约比哈密顿早24年左右就知道了哈密顿方程。他虽然和哈密顿观点不一样。 更早时期的一个同等重要的发展是力学的欧拉―拉格朗日方程的表达形式。这样牛顿定律可认为是从一个更高的原则，即最小作用量原理（P。L。M德毛帕裘斯）推导而来。除了其伟大的理论意义之外，欧拉――拉格朗日方程还提供了具有显著威力和实用价值的计算步骤。9． 刘维尔相空间体积只是整族具有不同维数的在哈密顿演化下保持不变的“体积”（称作彭加莱不变量）之一。但是，我的这个断言如此之囊括无遗实在有些过分，我们可以想象一个系统，将其中我们不感兴趣的一些自由度（对某些相空间体积有贡献）“倾倒”到某处去（诸如逃到无穷处的辐射），这样我们感兴趣的部分的相空间就会减小。
10。这第二个事实尤其是科学的极大的幸运。因为没有它的话，巨大物体的动力行为就不可理解，而大物体行为几乎不能给精确适用于粒子本身的定律提供任何暗示。我猜想，牛顿之所以那么强调他的第三定律的原因在于，如果没有它，则从微观到宏观的动力行为的传递就不成立。另一个对于科学发展生死攸关的“奇迹般的”事实是，反平方律是仅有使围绕着中心物体的一般轨道具有简单的几何形状的方次律（随距离而减小）。 如果定律或力是倒数律的或反三方律的， 开普勒还会有何成就呢？
11。我已为各种场选好了单位， 以使和马克斯韦的密先的方程的形式相接近（除了他的电荷在我处为c…2ρ以外）。当用其他的单位制时，因子c的分布将会不同。
12。事实上，我们具有无限多的 Xi和Pi更复杂之处在于，我们不能只用这些场的值作为座标，必须引进某种马克斯韦场的“势”才能纳入到哈密顿理论的框架中去。
13。也就是说，不过两次可微的。
14。洛伦兹方程告诉我们， 由电荷所处的地方的电磁场引起了作用于它上面的力；如果它的质量又是已知的，牛顿第二定律就告诉我们该粒子的加速度。然而，带电粒子经常以近于光速的速度运动，狭义相对论的效应变得很重要，影响了实际上应取的粒子质量数值（见下一节）。正是这种原因使作用在带电粒子上的正确的力定律推迟到狭义相对论的诞生才被发现15。事实上，自然界中的任何量子粒子，在某种意义上，整个自身都像一台这样的钟。正如第六章要讲到的，任何量子粒子都和一个振动相关系，其频率与质量成比例；见265页。现代最精确的钟表（原子钟、核子钟）归根到底是依赖于这个效应。
16。也许读者会忧虑，由于旅行者世界线在B处出现了一个“角”，正如图示的，他在事件B处遭受到无限大的加速度。可以用有限的加速度将他的世界线在B处的尖角弄圆滑，这只不过把他所经历的由整个世界线的闵可夫斯基“长度”所测量的总时间稍微改变一点。17。这些就是M依照爱因斯坦的同时性定义，由从M发出并被问题中的事件反射回到M的光讯号判断的事件空间。例如，见林德勒（1982）。18。这是该形状的初始的对时间的二阶微分（或“加速度”）。形状的改变率（或“速度”）在初始时为零，因为球面在开始时刻是静止的。19。杰出的法国数学家埃利？卡当（1923）首先对牛顿理论的数学形式重新进行表述――这当然是在爱因斯坦的广义相对论之后。20。在这种意义上的局部的欧几里德性的弯曲空间称作以伟大的贝纳德？黎曼（1826――1866）命名的黎曼流形。他在高斯的某些更早的有关的两维情形的工作之后，首先研究这类空间。我们在此需对黎曼观念作重大的修正，也即允许几何为局部闵可夫斯基的，而不是欧几里德的。通常将这种空间称为洛伦兹流形 （属于所谓的伪黎曼或更不逻辑点的半黎曼流形的一类）。21。或许读者会忧虑，零值何以代表“长度”的最大值！事实上的确是如此，只不过在空洞的意义上而言：零长的测地线的特征是，没有任何其他的粒子的世界线可将其上面的任何一对点（局部地）连接。
22。畸变效应和体积改变的分解事实上不像我所表达的那么明确。 里奇张量本身会引起一定量的潮汐畸变。（对于光线而言，这种分解是完全明确的；参阅彭罗斯和林德勒（1986），
第七章）例如可参阅该书第240和210页关于魏尔和里奇张量的精确定义。（德国出生的赫曼？魏尔是本世纪一位杰出的数学人物；意大利的格里高里？里奇是一位有巨大影响的几何学家，他在上世纪奠定了张量理论。）
23。大卫？希尔伯特在1915年11月发现了实际方程的正确形式，但该理论的物理观念则完全归功于爱因斯坦。24。对于通晓这些东西的读者而言， 这些微分方程正是用爱因斯坦方程代入到完整的比安基等式而得到的。25。存在某些（虽然不是非常令人满意的）方法可绕过这个论证，参阅惠勒和费因曼（1945）26。因为它不是二维的，而是三维的， 所以在这里用术语 “超面”比 “曲面”在技术上更为合适。27。有关这些问题的严格定理一定是非常有用的，并且非常有趣，可惜迄今还没有得到。28。现在这个理论是不可计算的，它的（临时的）毫无用处的答案是无限大。
第六章 量子魔术和量子神秘哲学家需要量子理论吗？
在经典物理中，存在一个“外面的”客观世界，这一点是和常识相符合的。那个世界以一种清晰的、决定性的方式演化着，并受到被精确表达的数学方程的制约。这一点对于马克斯韦以及爱因斯坦理论，正如对原先的牛顿理论一样都是正确的。物理世界被认为独立于我们而存在的；经典世界究竟“是”什么样子不受我们选择去观察它的方法的影响，而且我们的身体和大脑本身也是那个世界的一部分。它们也被认为是按照同等精密和确定的经典方程演化的。不管我们如何觉得我们清醒的意愿在影响着我们的行为，我们的一切行动都被这些方程所决定。大多数关于实在的性质、我们清醒的知觉以及表观上的自由意志的严肃的1哲学论证的背景都具有一幅这样的图像。一些人也许会对量子理论――这一事物的基本的、却是使人困扰的理论――也起作用感到不舒服。
量子理论是在本世纪最初的二十五年由于观察到世界的实际行为和经典物理的描述之间的微妙偏差而产生的。对许多人来说，“量子理论”这一术语仅仅是唤起某种“不确定性原理”的模糊概念。该原理禁止我们在粒子、原子或分子的水平上对之进行精确的描述，所能得到的只是随机的行为。实际上，我们将会发现，尽管量子描述和经典物理彻底不同，它却是非常精确的。此外，我们还将看到，尽管一般的观点与它正相反，在粒子、原子和分子的微小的量子水平上不出现随机性――它们决定性地进行演化――概率似乎是通过某种大尺度的、神秘的、和我们能意识感觉的经典世界的呈现相关联的作用而产生的。我们必须理解量子理论如何迫使我们改变物理实在的观点。人们会以为量子和经典理论之间的偏差非常微小，但事实上它们同时又是许多常观物理现象的基础。固态物体之所以存在、物质的强度和物性、化学的性质、物质的颜色、凝固和沸腾现象、遗传的可能性、还有许多其他熟知的性质需要量子力学才能解释。也许还有意识，它是某种不能由纯粹经典理论来解释的现象。我们的精神也许是来源于那些在实际上制约我们居住的世界的物理定律的某种奇怪的美妙特征的性质，而不仅仅是赋予称之为经典的物理结构的“客体”的某种算法的特征。在某种意义上，这也许就是“为什么”尽管经典宇宙已经是如此地丰富和神秘，作为有情感的生物，我们必须在量子世界、而不是在完全经典的世界中生活。为了诸如我们这样的思维的知觉的生物可由世界物质构成，是否需要一个量子世界？诸如这样的问题似乎更适合于让一心建造一个可供人居住的宇宙的上帝，而不是我们去解答！但是这个问题和我们也有关系。如果意识不可能是经典世界的一部份，那么我们的精神必须以某种方式依赖于对经典物理的特殊的偏离。这就是我在本书中还要考虑的问题。如果我们要深入钻研一些哲学的主要问题：我们世界如何行为，以及由什么构成“精神”也就是“我们”，则我们的确必须屈服于量子理论，这个最精确也最神秘的物理理论。有朝一日科学将会给我们提供比量子理论更好的对自然的更深刻的理解。我个人的看法是，甚至量子理论也只是权宜之计，肯定不足以作为我们实际生活其中的世界的完整图画。但这不可作为我们的借口；如果我们想得到某些我们需要的具有哲学洞察力的东西，我们就必须按照已有的量子理论去理解世界图像。不幸的是，不同的理论家对什么是这个图像的实在持不同（尽管在观察上等效）的观点。以中心人物尼尔斯？玻尔为首的许多物理学家说根本就没有客观的图像。在量子水平上，“外界”没有什么东西。实在多多少少只是在和“测量”结果的关系上才呈现。按照这种观点，量子理论仅仅提供了计算步骤，而不想对世界的实际进行描述。我认为，这种对理论的看法是过于悲观了，而我采用更正面的看法，对量子描述赋予客观的物理实在：量子态。
存在一个非常精确的方程，即薛定谔方程，它为量子态提供了完全决定性的时间演化。但是在随时间演化的量子态和被看到物理世界发生的实际行为之间存在一种非常古怪的东西。只要我们认定“发生”了测量，我们就必须抛弃我们直到该时刻止辛辛苦苦演化来的物理态，而用它来计算该态会“跃迁”到一族新的可能的态去的不同的几率。除了这个量子跃迁的怪异之外，对于物理形态还存在什么是裁决“测量”实际上已经进行了的问题。测量装置本身毕竟假定是由量子元件建造的，所以也要按照决定性的薛定谔方程演化。“测量”的实际发生是否必须伴随有意识的存在？我想量子理论家中只有少数人会采取这种观点。大概人类的观察者自身也是由微小的量子元件所组成的吧！我们将在本章的后面考察量子态“跃迁”的某些奇怪推论――例如，为什么在一处的“测量”似乎会在遥远的区域引起一个跃迁！在这之前，我们还将碰到其他的怪现象：有时一个物体可以分别非常好地通过两个不同的途径。但是一旦同时允许通过两条途径它们就会互相抵消，使得任何一条