粒子的数学的附属物。在这一点上它超越了我们的原先的理论框架。
马克斯韦的确向我们指出，当场以电磁波传播时，它们自身携带一定量的能量。他还给出了这种能量的显明的表达式。从一处传播到另一处的“脱离物体”的电磁波能传递能量的这一惊人事实，最终由赫芝在实验上探测到它的存在而被证实。这个事实虽然如此惊人，而现在却变成这么熟悉的东西了。可计算性和波动方程马克斯韦能直接从他的方程推导出，在没有电荷或电流（亦即在上述方程中j=0，ρ=0）的空间区域，所有电磁场的分量必须满足一称为波动方程①的方程。由于波动方程是有关于一个单独的量的，而不是电磁场的所有六个分量的方程，所以可视作马克斯韦方程的“简写”。它的解表现了类似波动的行为，并牵涉到诸如马克斯韦理论的“极化”（电场矢量的方向，见311页）等等其他复杂性。
因为波动方程及其可计算性的关系已被清楚地研究过，所以我们对它格外有兴趣。事实上，玛利安？玻依堪？玻―埃勒和因？里查德（1979，1981，1982，还可参阅1985）指出，尽管波动方程在平常的意义上具有决定性的行为，――亦即初态数据一被提供，则其他时刻的解即被决定――还存在某种古怪类型的可计算的初始数据，它使得在以后可计算的时刻被决定的场的值实际上是不可计算的。这样，此一似是而非的物理场论的方程（虽然不完全是在我们世界中实际成立的马克斯韦方程）会在玻―埃勒和里查德的意义上产生不可计算的演化！这结果在表面上似乎相当令人震惊――这看来和我在上一节的猜测相抵触，除了那时人们关心的是“合理的”哈密顿系统的可能的可计算性以外。然而，玻―埃勒和里查德结果固然是惊人的并和数学有关系，它和猜测的冲突并没有什么真正的物理意义。原因在于，他们“古怪”的初始数据不以一种通常人们对物理上有意义的场所要求的方式而“光滑地改变”
13玻―埃勒和里查德实际上证明了，如果我们不容许这一类场，则不会产生不可计算性。无论如何，甚至如果允许这类场，很难想象任何物理“仪器”（诸如人脑？）能利用这样的“不可计算性”。这只有当允许作任意高精度的测量时才相干。但正如我说过的，这在物理上不是非常现实的，尽管如此，玻―埃勒和里查德的结果代表了一个重要研究领域的美妙开端，迄今这个领域还很少被研究过。① 电和磁之间的不同在于单独“磁荷” （亦即北极或南极）似乎不能在自然中分开存在，磁粒子被称作“偶极子”，亦即微小的磁铁（北极和南极连在一起）。洛伦兹运动方程；逃逸粒子马克斯韦方程本身还不是一个完整的方程组。如果给定了电荷和电流的分布，则它们提供了电磁场传播方式的美妙的描述。在物理上，这些电荷主要是我们知道的电子和质子等带电粒子，而电流是由这种粒子的运动所引起的。如果我们知道这些粒子在何处并如何运动，则马克斯韦方程告诉我们电磁场会如何行为。该方程并没有告诉我们这些粒子自身如何行为，此问题的部分答案在马克斯韦年代即已经知道，但直到1895年杰出的荷兰物理学家亨德里克？安东？洛伦兹利用与狭义相对论有关的思想去推导现在称之为带电粒子的洛伦兹运动方程后（参阅威塔克（1910）310页，395页），才得到了令人满意的方程组。这些方程告诉我们带电粒子的速度如何因所处的电磁场的影响而连续地改变14。把洛伦兹方程和马克斯韦方程相联立，人们便能同时得到带电粒子的电磁场的时间演化的规则。
然而，这一套方程并非一切都相安无事。如果一直到粒子的自身的直径的尺度之下（电子的“经典半径”大约为10…15米）场都是非常均匀的，而且粒子运动也不过分激烈的话，则它们给出了极好的结果。但此处存在一个原则上的困难，在其他情况下它会变得重要起来。洛伦兹方程要我们去做的是考察带电粒子所在处的准确的那一点的电磁场（并且实际上提供了该点的“力”）。如果粒子是有限尺度的，则那一点应如何选取呢？是否我们应取粒子的“中心”，或是对表面上所有点的场（“力”）取平均？
如果场在粒子尺度下不是均匀的，则这就产生了差异。还有更严重的问题：粒子表面（或中心）的场究竟如何？记住我们考虑的是一个带电的粒子。 粒子本身引起的电磁场必须叠加到粒子所处的地方的 “背景场”上去。
粒子的自身场在靠近“表面”处变得极强，并且轻而易举地糟塌它附近的所有其他的场。而且，围绕着自身的粒子场会多多少少地指向外面（或内面）。这样粒子所要反应的总的实际场根本不是均匀的，在粒子“表面”的不同地方指向不同的方向，更不要说它的“内部”了（图5。15）。现在我们必须开始忧虑，互异的作用到粒子上的力是否使之旋转或变形，我们必须知道它的弹性性质等等（并且这里还有一个和相对论有关的特别有疑问的问题，我先不在此烦恼读者）。显然，这个问题比初看时复杂得多。图5。15我们要如何严格地应用洛伦兹运动方程？由于自己的场在粒子的位置处起主导作用，作用在它上面的力不能简单地从该粒子所处地方的场得到。
也许我从一开始就把粒子当作点粒子会更好些。但这会导致另一类问题，因为在粒子的近邻处其自身的电场会变成无穷大。按照洛伦兹方程，如果它必须对它所处的地方的电磁场响应，则它必须对此无穷大的场响应！为了使洛伦兹力定律有意义，必须找出一种减去粒子自身的场以剩下的有限的背景场的方法，这样粒子才能毫不含糊地对背景场响应。1938年狄拉克（我们在后面还要提到他）解决了这个问题。但是，狄拉克解导出了某些令人恐慌的结论。他发现为了决定粒子和场的行为，不但必须知道每个粒子的初始位置和速度，也必须知道其初始加速度（这是一种在标准的动力学理论的范围内不太正常的情况）。对大多数的初始加速度值，粒子的最终行为变得完全疯狂，它自发地加速并很快地趋近于光速！这就是狄拉克的“逃逸解”，它并不对应于任何实际发生在自然里的东西。人们必须找到一种正确选择初始加速度以避免逃逸解的方法。只有一个人使用“先知”――也就是，必须指明能最终导出逃逸解的初始加速度并避免之，才能做到。这根本就不是在一个标准的决定性的物理问题中选择初始条件的方法。在传统的决定论中，这些初始数据可以任意给定，不受任何未来的行为要求的约束。而在这里，不仅是将来完全决定了在过去某一时刻的应选取的初始值，而且这些非常特别的数据由于要使未来行为确实 “合理”的要求，而被非常苛刻地约束。
基本的经典方程就只能走到这么远。读者会意识到经典物理定律中决定性和可计算性的问题真是乱麻一团，在物理学定律中是否有一个目的论的因素呢？未来是否对过去允许发生的事有某种影响呢？在实际上，物理学家并未认真地将这些经典电动力学（经典带电粒子和电磁场的理论）的含义当作实在的描述。他们对上述困难通常回答是，带电的单独粒子问题是在量子电动力学范畴里， 我们不能指望利用纯粹经典过程得到有意义的答案。这无疑是对的。但正如我们以后将要看到的，在这一点上量子理论自身也有问题。事实是，狄拉克正是因为想到，也许能为解决（物理上更适当的）量子问题中的甚至更大的基本困难得到灵感，而考虑带电粒子的经典问题。以后我们必须面临量子理论的这个问题！爱因斯坦和彭加莱狭义相对论我们回顾一下伽利略的相对性原理。它告诉我们，如果我们从一个静止座标系转换到运动座标系，伽利略和牛顿的物理定律完全不变。这意味着仅仅考察在我们周围的物体的动力学行为，不能确定我们是处于静止状态，还是沿着某一方向作匀速运动。（回忆一下187页描述伽利略在海上的船）。当我们将马克斯韦方程合并到这些定律中去时，伽利略的相对论仍然对吗？我们知道马克斯韦电磁波以固定的速率――即光速传播。常识似乎告诉我们，如果我们在某一方向非常快地运动，则光在那一方向相对我们的速率应减少到比c小（因为我们沿着那个方向去“追逐”光线），而且在相反的方向光速应相应地增加到比c大（因为我们向着光运动）――这都和马克斯韦理论的不变的值c不一致。确实，常识似乎是对的：合并的牛顿和马克斯韦方程不满足伽利略相对论。
正是由于对这件事体的忧虑导致爱因斯坦于1905年――事实上彭加莱在他之前（1898――1905）――提出狭义相对论。彭加莱和爱因斯坦各自独立地发现马克斯韦方程也满足一个相对论原理（参阅派斯1982）；也就是如果我们从一个静止座标系换到运动座标系时，方程也有类似的不变的性质。虽然在这种情况下，变换规则和伽利略――牛顿物理不相容！为了使两者相容，必须修正其中的一组方程――或者抛弃相对论原理。爱因斯坦不想抛弃相对论原理。他凭着超等的物理直觉坚持，这个原则必须对于我们世界的物理定律成立。此外，他知道伽利略――牛顿物理对于所有的已知现象，只在速度和光速相比很微小的情况下被检验，这时不相容性不显著。只有光本身才牵涉到速度大到足以使这种偏离变重要。所以，正是光的行为才能告诉我们究竟要采用何种相对论原理――而制约光的方程正是马克斯韦方程。这样适合于马克斯韦理论的相对论原理要保留；而相应地伽利略――牛顿定律要作修正！
在彭加莱和爱因斯坦之前，洛伦兹也着手并回答了问题。直到1895年，洛伦兹采取的观点认为将物质结合在一起的力量具有电磁性（后来证明正是如此）。这样，实在物体的行为应该满足从马克斯韦方程推导出的定律。其中一个推论，是以与光速可相比拟的速度运动的物体在运动的方向会有微小的收缩（所谓的“费兹杰拉德――洛伦兹收缩”）。洛伦兹利用它来解释迈克尔逊和莫雷在1887年进行的令人困惑的实验发现。 该实验似乎指出不能用电磁现象来确定一个“绝对”静止的坐标系。（迈克尔逊和莫雷指出，地球表面上的光的表观速度不受地球绕太阳公转的影响，这和预想的非常不一样。）是否物体的行为总是这样，以至于不可能在局部检验它的匀速运动呢？这是洛伦兹的近似的结论；而且他只局限于物体的特殊的，也就是认为只有电磁力才有意义的理论。作为一位杰出的数学家，彭加莱在1905年指出，马克斯韦方程基础的相对论原理，物体有一个精确的行为方式使得局部检测物体的匀速运动根本办不到。他并透彻地了解了此原理的物理含义（包括我们很快就要考虑到的“同时性的相对性”）。
他认为这仅仅是一种可能性，而不像爱因斯坦那样坚持相对论原理必须成立。马克斯韦方程满足的相对性原理后来被称作狭义相对论。 要掌握它不甚容易。它有许多反直观的特征，一下子很难把这些特征当作我们生活其中的世界的性质接受下来。事实上，若不是富有创见和洞察力的俄国/德国几何学家赫曼？闵可夫斯基（1864―1909）于1908年引进了进一步的要素，很难对狭义相对论赋予意义。闵可夫斯基曾是爱因斯坦在苏黎士高等理工学院的导师。1908年，闵可夫斯基在他发表在哥廷根大学的著名演讲中说道：
从今以后空间自身以及时间自身必像影子般地渐渐消退，只有两者的某种结合保持为独立的实体。现在，让我们按照美妙的闵可夫斯基空间――时间来理解狭义相对论的基础。和空间――时间概念相关的一个困难在于它是四维的，这样要去摹想它就非常困难。然而，我们已逃过了相空间这一关，区区四维不会引起我们太多的麻烦！和以前一样，我们将采用“欺骗”的手法把空间画成更少的维数――但是，这回欺骗的程度没有过去那么严重，我们的图画也相应地更为准确一些。二维图（一维空间和一维时间）对许多目的是足够的。
但我还希望读者允许我有点更冒险地升高到三维图（二维空间和一维时间）。这样子我们就得到了非常好的图画，并在原则上认为不必做许多改变就可将三维图的观念推广到四维的情况去。关于空间――时间里要记住的是，在它上面的每一点代表一个事件――也就是某一时刻的空间的一点，只有