事实具有一种深刻和美丽的神秘。它毫无疑问地表明，在我们经验的实在世界和柏拉图的数学世界之间有某种根本的关联。
（我将在第十章495页再讨论这一些。）牛顿力学也许是这方面的一个顶峰，因为它一诞生即获得了微积分。而且，牛顿理论形成了非凡的称为经典力学的数学观念的实体。十八和十九世纪许多伟大数学家的名字都和此发展相关联：欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、刘维尔、泊阿松、雅科比、奥斯特洛夫斯基、哈密顿。被称为“哈密顿理论”8的即为这一工作的总结。为了我们的目的对其稍微了解即可以了。威廉姆？罗曼？哈密顿（1805―1865）是一位多才多艺和富有创见的爱尔兰数学家，他还是在165页讨论过的哈密顿线路的发明者。他把力学发展成强调其与波传播相类似的形式。波和粒子的关系的暗示，以及哈密顿方程的形式对于后来的量子力学的发展极为重要。我在下一章还会提及。
用以描述物理系统的“变量”是哈密顿理论的一个奇妙的部分。迄今为止，我们一直把粒子的位置当作基本的，而速度作为位置对时间的变化率。我们记得在牛顿系统中为了确定随后的行为，必须指定初始态（192页），也就是需要所有粒子的位置和速度。在哈密顿形式中，我们必须挑选粒子的动量，而不是速度。（我们在190页提到粒子动量是速度和质量的乘积。）这种改变似乎很微不足道，但是重要的在于每一粒子的位置和动量似乎被当作独立的量来处理。这样，人们首先“假装”不同粒子的动量和它所对应的位置的改变率没有什么关系，而仅仅是一组分开的变量。我们可以想像它们“可以”完全独立于位置的运动。现在在哈密顿形式中我们有两族方程。有一族告诉我们不同粒子的动量如何随时间变化，另一族告诉我们位置如何随时间变化。在每一种情况下，变化率总是由在该时刻的不同位置和动量所决定。粗略地讲，第一族哈密顿方程表述了牛顿的关键的第二运动定律（动量变化率=力），而第二族方程告诉我们动量实际上即是依赖于速度（位置变化率=动量÷质量）。我们记得，伽利略――牛顿的运动定律是用加速度，即位置变化率之变化率（亦即“二阶”方程）来描述。现在，我们只需要讲到事物的变化率（“一阶”方程），而不是事物变化率的变化率。
所有这些方程都是从一个重要的量推导而来：哈密顿函数 H，它是系统的总能量按照所有位置和动量变量的表达式。哈密顿形式提供了一种非常优雅而对称的力学描述，我们在下面写出这些方程，仅仅是为了看看它们是什么样子的。虽然，甚至许多读者并不熟悉完全理解之所必须的微积分记号――它在这里是不需要的。就微积分而言，所有我们真正要理解的是，出现在每一个方程左边的点表示（在第一种情况下，动量的；在第二种情况下，位置的）对时间的变化率：pHxxHp iiii= … =？？？？，？这里下标i用以区别所有不同的动量座标p1，p2，p3，p4，…和所有不同的位置座标x1，x2，x3，x4，…。n个不受限制的粒子具有3n个动量座标和3n个位置座标 （每一个代表空间中的三个独立的方向）。符号？表示 “偏微分”（“在保持其他变量为常数的情况下取导数”）。正如前述的，H为哈密顿函数。（如果你不通晓“微分”，不必担心。只要认为这些方程的右边是某些定义完好的，以xi和pi来表达的数学式子就行了。）在实际上，座标x1，x2，…和p1，p2，…可允许为某种比粒子通常的笛卡尔座标（亦即xi为通常的沿三个不同的相互垂直的方向测量的距离）更一般的东西。例如座标xi中的一些可以是角度（在这种情形下，相应的pi就是角动量，而不是动量，参见190页），或其他某些完全一般的测度。令人惊异的是，哈密顿方程的形状仍然完全一样。事实上，合适地选取H，哈密顿形式不仅仅是对于牛顿方程，而且对任何经典方程的系统仍然成立。对于我们很快就要讨论的马克斯韦（――洛伦兹）理论，这一点尤其成立。哈密顿方程在狭义相对论中也成立。如果仔细一些，则广义相对论甚至也可并入到哈密顿框架中来。此外，我们将要看到在薛定谔方程（332页）中，哈密顿框架为量子力学提供了出发点。尽管一世纪以来构的形式却是如此地统一，这真是令人惊叹！相空间哈密顿方程的形式允许我们以一种非常强而有力的一般方式去“摹想”经典系统的演化。想象一个多维“空间”，每一维对应于一个座标x1；x2，…p1，p2，…（数学空间的维数，通常比3大得多。）此空间称之为相空间（见图5。10）。对于n个无约束的粒子。相空间就有6n维（每个粒子有三个位置座标和三个动量座标）。读者或许会担心，甚至只要有一个单独粒子，其维数就是他或她通常所能摹想的二倍！不必为此沮丧！
尽管六维的确是比能明了画出的更多的维数，但是即使我们真的把它画出也无太多用处。仅仅就一满屋子的气体，其相空间的维数大约就有10 000 000 000 000000000000 000 000去准确地摹想这么大的空间是没有什么希望的！既然这样，秘诀是甚至对于一个粒子的相空间都不企图去这样做。只要想想某种含糊的三维（或者甚至就只有二维）的区域，再看看图5。10就可以了。图5。10相空间。相空间的单独点Q表明某一个物理系统的整个态，包括其所有部分的瞬态运动。我们如何按照相空间来摹想哈密顿方程呢？首先，我们要记住相空间的单独的点 Q实际代表什么。它代表所有位置座标x1，x2，…和所有动量座标p1，p2，…的一种特别的值。也就是说，Q表示我们整个物理系统，指明组成它的所有单独粒子的特定的运动状态。当我们知道它们现在的值时，哈密顿方程告诉我们所有这些座标的变化率是多少；亦即它控制所有单独的粒子如何移动。翻译成相空间语言，该方程告诉我们，如果给定单独的点Q在相空间的现在位置的话，它将会如何移动。为了描述我们整个系统随时间的变化，我们在相空间的每一点都有一个小箭头――更准确地讲，一个矢量――它告诉我们Q移动的方式。这整体箭头的排列构成了所谓的矢量场（图5。11）。哈密顿方程就这样地在相空间中定义了一个矢量场。
我们看看如何按照相空间来解释物理的决定论。对于时间t=0的初始数据，我们有了一族指明所有位置和动量座标的特定值；也就是说，我们在相空间特别选定了一点Q。为了找出此系统随时间的变化，我们就跟着箭头走好了，这样，不管一个系统如何复杂，该系统随时间的整个演化在相空间中仅仅被描述成一点沿着它所遭遇到的特定的箭头移动。我们可以认为箭头为点Q在相空间的“速度”。“长”的箭头表明Q移动得快，而“短”的箭头表明Q的运动停滞。只要看看Q以这种方式随着箭头在时间t移动到何处，即能知道我们物理系统在该时刻的状态。很清楚，这是一个决定性的过程。Q移动的方式由哈密顿矢量场所完全决定。图5。11相空间中的矢量场。它代表了按照哈密顿方程的时间演化。
关于可计算性又如何呢？如果我们从相空间中的一个可计算的点（亦即从一个其位置和动量座标都为可计算数的点，参阅第三章95页）出发，并且等待可计算的时间t，那么一定会终结于从t和初始数据计算得出的某一点吗？答案肯定是依赖于哈密顿函数H的选择。实际上，在H中会出现一些物理常数，诸如牛顿的引力常数或光速――这些量的准确值视单位的选定而被决定，但其他的量可以是纯粹数字――并且，如果人们希望得到肯定答案的话，则必须保证这些常数是可计算的数。如果假定是这种情形，那我的猜想是，答案会是肯定的。这仅仅是一个猜测。然而，这是一个有趣的问题，我希望以后能进一步考察之。
另一方面，由于类似于我在讨论有关撞球世界时简要提出的理由，对我来说，这似乎不完全是相关的问题。为了使一个相空间的点是不可计算的断言有意义，它要求无限精确的座标――亦即它的所有小数位！ （一个由有限小数描述的数总是可以计算的。）一个数的小数展开的有限段不能告诉我们任何关于这个数整个展开的可计算性。但是，所有物理测量的精度都是有限的，只能给出有限位小数点的信息。在进行物理测量时，这是否使“可计算数”的整个概念化成泡影？”
的确，一个以任何有用的方式利用某些物理定律中（假想的）不可计算因素的仪器不应依赖于无限精确的测量。也许我在这里有些过分苛刻了。假定我们有一台物理仪器，为了已知的理论原因，模拟某种有趣的非算法的数学过程。如果此仪器的行为总可以被精密地确定的话，则它的行为就会给一系列数学上有趣的没有算法的（像在第四章中考虑过的那些）是非问题以正确答案。任何给定的算法都会到某个阶段失效。而在那个阶段，该仪器会告诉我们某些新的东西。该仪器也许的确能把某些物理常数测量到越来越高的精度。而为了研究一系列越来越深入的问题，这是需要的。然而，在该仪器的有限的精度阶段，至少直到我们对这系列问题找到一个改善的算法之前，我们得到某些新的东西。然而，为了得到某些使用改善了的算法也不能告诉我们的东西，就必须乞求更高的精度。尽管如此，不断提高物理常数的精度看来仍是一个棘手和不尽人意的信息编码的方法。以一种分立（或“数字”）形式得到信息则好得多。如果考察越来越多的分立单元，也可重复考察分立单元的固定集合，使得所需的无限的信息散开在越来越长的时间间隔里，因此能够回答越来越深入的问题。（我们可以将这些分立单元想象成由许多部分组成，每一部分有“开”和“关” 两种状态， 正如在第二章描述的图灵机的0和1状态一样。）为此看来我们需要某种仪器，它能够（可区别地）接纳分立态，并在系统按照动力学定律演化后，又能再次接纳一个分立态集合中的一个态。如果事情是这样的话，则我们可以不必在任意高的精度上考察每一台仪器。那么，哈密顿系统的行为确实如此吗？某种行为的稳定性是必须的，这样才能清晰地确定我们的仪器实际上处于何种分立态。一旦它处于某状态，我们就要它停在那里（至少一段相当长的时间），并且不能从此状态滑到另一状态。不但如此，如果该系统不是很准确地到达这些状态，我们不要让这种不准确性累积起来；我们十分需要这种不准确性随时间越变越小。我们现在设想的仪器必须由粒子（或其他子元件）所构成。需要以连续参数来描述粒子，而每一个可区别的“分立”态复盖连续参数的某个范围。（例如，让粒子停留在二个盒子中的一个便是一种表达分立双态的方法。为了指明该粒子确实是在某一个盒子中，我们必须断定其位置座标在某个范围之内。）用相空间的语言讲，这表明我们的每一个“分立”的态必须对应于相空间的一个“区域”，同一区域的相空间点就对应于我们仪器的这些可选择的同一态（图5。12）。图5。12相空间中的一个区域对应于所有粒子位置和动量的可能值的一个范围。这样的区域可代表某仪器一个可区别态（亦即“选择”）。图5。13随着时间的演化，相态区域Rt沿着矢量场被拖到一个新区域Rt。这可表示我们仪器的某一特定选择的时间演化。现在假定仪器在开始时的态对应于它的相空间中的某一个范围R0。我们想象R0随着时间沿着哈密顿矢量场被拖动，到时刻t该区域变成Rt。在画图时，我们同时想象对应于同一选择的所有可能的态的时间演化（见图5。13）。关于稳定性的问题（在我们感兴趣的意义上讲）是，当 t增加时区域Rt是否仍然是定域性的，或者它是否会向相空间散开去。如果这样的区域在时间推进时仍是定域性的，我们对此系统就有了稳定性的量度。在相空间中相互靠近的点（这样它们对应于相互类似的系统的细致的物理态）将继续靠得很近，给定的态的不准确性不随时间而放大。任何不正常的弥散都会导致系统行为的等效的非预测性。
我们对于哈密顿系统可以一般地说什么呢？相空间的区域究竟是否随时间散开呢？似乎对于一个如此广泛的问题，很少有什么可说的。然而，人们发现了一个非常漂亮的定理， 它要归功于杰出的法国数学家约瑟夫？刘维尔（1809―1882）。该定律讲，相空间中的任�